Задача 68134 Решить следующие линейные неоднородные...

63b9c113a49fd652b8722efa

07.01.2023 22:00:08

Решить следующие линейные неоднородные уравнения с правой частью специального вида методом подбора частного решения по виду
правой части.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

07.01.2023 22:45:09

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное :

y'' +4y' + 3y =0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4k+3=0

D=16-4*3=4

k_(1)=(-4-2)/2; k_(2)=(-4+2)/2

k_(1)=-3; k_(2)=-1– корни действительные различные

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_(общее одн.)=С_(1)*e^(k_(1)x)+С_(2)*e^(k_(2)x)

Подставляем k_(1)=-3; k_(2)=-1

Получаем ответ

y_(общее одн.)=С_(1)*e^(-3*x)+С_(2)*e^(-x)

Правая честь f(x)=9e^(-3x)

частное решение:

y_(част)=A*e^(-3x)*x

y`_(част)=А*(e^(-3x))`*x+A*e^(-3x)*(x)`=-3A*x*e^(-3x)+A*e^(-3x)=Ae^(-3x)*(1-3x)
y``_(част)=A*(e^(-3x))`*(1-3x)+A*e^(-3x)*(1-3x)`=-3A*e^(-3x)*(1-3x)+A*e^(-3x)*(-3)=e^(-3x)*(9Ax-6A)

Подставляем в уравнение и находим А

e^(-3x)*(9Ax-6A)+4*Ae^(-3x)*(1-3x)+3A*e^(-3x)*x=9e^(-3x)

9Ax-6A+4A-12Ax+3Ax=9

-2A=9

A=[b]-4,5[/b]

О т в е т.

y_(общее неодн) =y_(общее одн.)+y_(част неод)=С_(1)*e^(-3*x)+С_(2)*e^(-x)+([b]-4,5[/b])*х*e^(-3x)