Задача 68130 Найдите все значения a, при каждом из...

63b55b6c61079b77ceefa2dd

07.01.2023 14:33:53

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x^(4)+2x^(2)−2ax^(2)+x=3a−a^(2)−2 имеет единственное решение. Если значений несколько, то в ответ запишите их сумму.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

07.01.2023 22:27:30

★

x^4+2x^2−2ax^2+x=3a−a^2−2

Решаем квадратное уравнение относительно a


a^2-2ax^2-3a+x^4+2x^2+x+2=0

a^2-(2x^2+3)a+(x^4+2x^2+x+2)=0

D=(2x^2+3)^2-4*(x^4+2x^2+x+2)=4x^4+12x^2+9-4x^4-8x^2-4x-8=4x^2-4x+1=(2x-1)^2


a_(1)=(2x^2+3-2x+1)/2; a_(2)=(2x^2+3+2x-1)/2

a_(1)=x^2-x+2; a_(2)=x^2+x+1


Значит, уравнение раскладывается на множители:

(a-x^2+x-2)*(a-x^2+x+1)=0

Требование задачи.

Уравнение должно иметь единственное решение

a-x^2+x-2=0 имеет один корень ⇒ x^2-x+2-a=0 ⇒ D=1-4*(2-a)=1-8+4a=4a-7
D=0 ⇒ 4a-7=0
a=7/4

a-x^2+x+1=0 не имеет корней ⇒ x^2-x-a-1=0 ⇒ D=1-4*(-a+1)=1+4a-4=4a-3
D <0
4a-3<0
a < 3/4
Оба условия должны выполняться одновременно


или
a-x^2+x+1=0 имеет один корень⇒ x^2-x-a-1=0 ⇒ D=1-4*(-a+1)=1+4a-4=4a-3
D=0⇒ 4a-3=0
a=3/4

a-x^2+x-1=0 не имеет корней⇒ x^2-x+2-a=0 ⇒ D=1-4*(2-a)=1-8+4a=4a-7
D<0
4a-7 <0
a<7/4
Оба условия должны выполняться одновременно

О т в е т. [b]3/4[/b]