Задача 68129 ...
Условие
3. 5x^2+4√6хy+7y^2=22
Решение
Применяем замену переменных для поворота осей.
Наша цель - избавиться от члена xy.
{ x = x'*cos α + y'*sin α
{ y = x'*sin α - y'*cos α
Подставляем:
5(x'*cos α + y'*sin α)^2 + 4sqrt(6)(x'*cos α + y'*sin α)(x'*sin α - y'*cos α) +
+ 7(x'*sin α - y'*cos α)^2 = 22
Раскрываем скобки:
5x'^2*cos^2 α + 10x'y'*sin α*cos α + 5y'^2*sin^2 α + 4sqrt(6)x'^2*sin α*cos α +
+ 4sqrt(6)x'y'*sin^2 α - 4sqrt(6)x'y'*cos^2 α - 4sqrt(6)y'^2*sin α*cos α +
+ 7x'^2*sin^2 α - 14x'y'*sin α*cos α + 7y'^2*cos^2 α = 22
Приводим подобные, выделяем x'^2, y'^2 и x'y':
x'^2*(5cos^2 α + 4sqrt(6)*sin α*cos α + 7sin^2 α) +
+ x'y'*(-4sin α*cos α + 4sqrt(6)*sin^2 α - 4sqrt(6)*cos^2 α) +
+ y'^2*(5sin^2 α - 4sqrt(6)*sin α*cos α + 7cos^2 α) = 22
Теперь самое главное: приравниваем к 0 скобку при x'y' и находим α:
-4sin α*cos α + 4sqrt(6)*sin^2 α - 4sqrt(6)*cos^2 α = 0
Делим всё уравнение на 4cos^2 α:
sqrt(6)*tg^2 α - tg α - sqrt(6) = 0
Получили квадратное уравнение относительно tg α:
D = (-1)^2 - 4*sqrt(6)*(-sqrt(6)) = 1 + 4*6 = 25 = 5^2
Нас интересует только tg α > 0, то есть угол α ∈ 1 четверти.
tg α = (1 - 5)/(2sqrt(6)) < 0
[b]tg α[/b] = (1 + 5)/(2sqrt(6)) = 6/(2sqrt(6)) = [b]sqrt(6)/2[/b]
tg^2 α = 6/4 = 3/2
Угол поворота: [b]α[/b] = arctg(sqrt(6)/2) [b]≈ 50,77° = 50° 46' 12''[/b]
Тогда:
1/cos^2 α = 1 + tg^2 α = 1 + 3/2 = 5/2
cos^2 α = 2/5; cos α = sqrt(2)/sqrt(5)
sin^2 α = 1 - cos^2 α = 1 - 2/5 = 3/5; sin α = sqrt(3)/sqrt(5)
Подставляем в наше уравнение:
x'^2*(5*2/5 + 4sqrt(6)*sqrt(2)/sqrt(5)*sqrt(3)/sqrt(5) + 7*3/5) +
+ x'y'*0 + y'^2*(5*3/5 - 4sqrt(6)*sqrt(2)/sqrt(5)*sqrt(3)/sqrt(5) + 7*2/5) = 22
Заметим, что:
4sqrt(6)*sqrt(2)/sqrt(5)*sqrt(3)/sqrt(5) = 4sqrt(6)*sqrt(6)/5 = 24/5
Приводим подобные:
x'^2*(10/5 + 24/5 + 21/5) + y'^2*(15/5 - 24/5 + 14/5) = 22
x'^2*55/5 + y'^2*5/5 = 22
x'^2*11 + y'^2 = 22
Делим всё уравнение на 22:
[b]x'^2/2 + y'^2/22 = 1[/b]
Это эллипс с центром O(0; 0) и полуосями a = sqrt(2); b = sqrt(22)
Чертежи в исходной (1) и в повернутой (2) системе координат прилагаются.
