Задача 68107 Вычислить пределы, не используя правило...
Условие
Решение
[m]=\lim_{x \to 4}\frac{x^2-16}{\sqrt{2x+1}-\sqrt{3x-3}}=\frac{4^2-16}{\sqrt{2\cdot 4+1}-\sqrt{3\cdot 4-3})}=\frac{0}{0}[/m]
Неопределенность (0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное тому, что в знаменателе, т.е на такое же но с +:
[m]\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x-3}[/m]
[m]=\lim_{x \to 4}\frac{(x^2-16)(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x-3})}{(\sqrt{2x+1}-\sqrt{3x-3})(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x-3})}=\lim_{x \to 4}\frac{(x-4)(x+4)(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x-3})}{(\sqrt{2x+1})^2-(\sqrt{3x-3})^2}=\lim_{x \to 4}\frac{(x-4)(x+4)(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x-3})}{2x+1-(3x-3)}=[/m]
[m]=\lim_{x \to 4}\frac{(x-4)(x+4)(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x-3})}{2x+1-3x+3)}==\lim_{x \to 4}\frac{(x-4)(x+4)(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x-3})}{4-x}[/m]
сокращаем на (x-4):
[m]=\lim_{x \to 4}\frac{(x+4)(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x-3})}{(-1)}=\frac{(4+4)(\sqrt{2\cdot 4+1}-\sqrt{3\cdot 4-3})}{(-1)}=\frac{8(\sqrt{9}+\sqrt{9})}{(-1)}=-48[/m]
2.
[m]lim_{x → ∞ }\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}=\frac{ ∞ }{x ∞ }[/m]
Неопределенность
[m]=lim_{x → ∞ }\frac{\sqrt{x^2(1+\frac{4}{x})}}{x}=lim_{x → ∞ }\frac{|x|\sqrt{1+\frac{4}{x}}}{x}=\left\{\begin {matrix}1, x → + ∞ \\-1, x → - ∞ \end {matrix}\right.[/m]
Предел на бесконечности не существует, но есть предел на + ∞ , равный 1 и предел на ( - ∞ ), равный (- ∞ )
3.
Неопределенность (0/0)
Применяем [i]первый замечательный предел[/i]
[m]lim_{x → 0}\frac{3tgx}{x}=3\cdot lim_{x → 0}\frac{\frac{sinx}{cosx}}{x}=3\cdot lim_{x → 0}\frac{sinx}{x}\cdot \frac{1}{cosx}=3\cdot lim_{x → 0}\frac{sinx}{x}\cdot lim_{x → 0}\frac{1}{cosx}=3\cdot 1\cdot \frac{1}{cos0}=3 [/m]
4.
Если условие
[m]lim_{x → ∞ }(\frac{3x+2}{3x})^{3x}[/m]
Неопределенность 1^( ∞ )
Применяем [i]второй замечательный предел[/i]
[m]lim_{x → ∞ }(1+\frac{2}{3x})^{3x}=lim_{x → ∞ }(1+\frac{2}{3x})^{\frac{3x}{2}\cdot 2}=lim_{x → ∞ }((1+\frac{2}{3x})^{\frac{3x}{2}})^2=e^2[/m]