Задача 68100 Задача 5, задание 3 Найти точки...
Условие
Найти точки пересечения поверхности и прямой
Решение
[m] p_{1} :2x+4y+z-7=0[/m] с нормальным вектором [m]\vec{N_{1}}=(2;4;1)[/m]
[m] p_{2} :y+z-1=0[/m] с нормальным вектором [m]\vec{N_{2}}=(0;1;1)[/m]
Нормальные векторы не коллинеарны.
[m]\vec{N_{1}}⊥ p_{1}[/m] и [m]\vec{N_{2}}⊥ p_{2}[/m] ⇒
[m]\vec{N_{1}} × \vec{N_{2}} =\vec{q}[/m] - направляющий вектор прямой
Находим векторное произведение векторов:
[m]\vec{N_{1}} × \vec{N_{2}} =\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&4&1\\0&1&1\end {vmatrix}=4 \vec{i}+0\vec{j}+2\vec{k}-0\vec{k}-\vec{i}-2\vec{j}=3\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}[/m]
[m]\vec{q}=(3;-2;2)[/m]
Найдем точку, принадлежащую прямой, т.е точку, принадлежащую и плоскости [m] p_{1}[/m] и [m] p_{2}[/m]
Решаем систему:
[m]\left\{\begin {matrix}2x+4y+z-7=0\\y+z-1=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}z=7-2x-4y\\z=1-y\end {matrix}\right.[/m]
Точек пересечения двух плоскостей - бесчисленное множество.
[m] 7-2x-4y=1-y[/m] ⇒ [m]x=3-\frac{3}{2}y[/m]
Пусть [m]y=0[/m], тогда [m]x=3[/m] и [m]z=1[/m]
[m]\frac{x-3}{3}=\frac{y-0}{-3}=\frac{z-1}{2}[/m] - каноническое уравнение прямой
Чтобы найти точку пересечения поверхности и прямой решаем систему уравнений:
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=z\\\frac{x-3}{3}=\frac{y-0}{-2}=\frac{z-1}{2}\end {matrix}\right.[/m]
Составим параметрическое уравнение прямой:
[m]\frac{x-3}{3}=\frac{y-0}{-2}=\frac{z-1}{2}=t[/m]
[m]\frac{x-3}{3}=t[/m] ⇒ x=3+3t
[m]\frac{y-0}{-2}=t[/m] ⇒ y=-2t
[m]\frac{z-1}{2}=t[/m] ⇒ z=1+2t
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=z\\ x=3+3t\\ y=-2t\\z=1+2t\end {matrix}\right.[/m]
Подставляем [m] x, y[/m] и[m]z[/m] в уравнение поверхности
[m]\frac{(3+3t)^2}{9}-\frac{(-2t)^2}{4}=1+2t[/m] ⇒ [m]1+2t+t^2-t^2=1+2t[/m]
Равенство верно при любом t
Значит, поверхность и прямая имеют[b] бесчисленное множество точек пересечения.[/b]
Это точки, принадлежащие прямой...
О т в е т. Прямая [m]\frac{x-3}{3}=\frac{y-0}{-2}=\frac{z-1}{2}[/m]
[b]ИЛИ [/b][i]опечатка [/i]в условии задачи
