Задача 68099 задача 4, задание 3 Найти точку М...
Условие
Найти точку М ,симметричную точке М относительно прямой (для вариантов 1-15) или плоскости (для вариантов 16-25)
Решение
[m]\frac{x-2}{1}=\frac{y+1,5}{-2}=\frac{z-1}{1}[/m] - каноническое уравнение прямой
[m]\vec{q}=(1;-2;1) [/m] - направляющий вектор прямой
2. Найдем [red]на этой прямой [/red]координаты такой точки С (x_(C);y_(C),z_(C)), чтобы вектор vector{MC} был перпендикулярен прямой (т.е. перпендикулярен ее направляющему вектору).
vector{MC} ⊥ vector{q} ⇒ vector{MC} * vector{q}=0
vector{MC}=(x_{C)-1;y_(C)-1,z_(C)-1)
vector{MC} * vector{q}=x_{C)-1-2*(y_(C)-1)+z_(C)-1
Решаем систему:
{x_{C)-1-2*(y_(C)-1)+z_(C)-1=0
{[red][m]\frac{x_{C}-2}{1}=\frac{y_{C}+1,5}{-2}=\frac{z_{C}-1}{1}[/m][/red] - запишем это уравнение как параметрическое
[m]x_{C}=2+t[/m]
[m]y_{C}=-1,5-2t[/m]
[m]z_{C}=1+t[/m]
и подставим в первое:
2+t-1-2*(-1,5-2t-1)+1+t-1=0
t=-1
[m]x_{C}=2-1=1,5[/m]
[m]y_{C}=-1,5-2(-1)=0,5[/m]
[m]z_{C}=1+(-1)=0[/m]
Найдем координаты искомой точки N из условия, что С - середина MN
[m]x_{C}=\frac{x_{M}+x_{N}}{2}[/m] ⇒ [m]x_{N}=2x_{C}-x_{M}=2\cdot 1,5-1=2[/m]
[m]y_{C}=\frac{y_{M}+y_{N}}{2}[/m] ⇒ [m]y_{N}=2y_{C}-y_{M}=2\cdot 0,5-1=0[/m]
[m]z_{C}=\frac{z_{M}+z_{N}}{2}[/m] ⇒ [m]z_{N}=2z_{C}-z_{M}=2\cdot 0-1=-1[/m]
О т в е т. (2;0;-1)