Задача 68091 Пусть ???? = arccos[m]\frac{4}{5}[/m]....

63b55b6c61079b77ceefa2dd

04.01.2023 16:09:56

Пусть ???? = arccos[m]\frac{4}{5}[/m]. Доказать, что число 5^(45) sin 45???? – целое и найти его
остаток от деления на 5.

626fab9a354ab65fb2f43abb

04.01.2023 18:06:07

★

Ясно, что 5^(45) - число целое.
Найдем sin(45x).
Если x = arccos(4/5), то cos x = 4/5. Тогда
sin x = sqrt(1 - cos^2 x) = sqrt(1 - 16/25) = sqrt(9/25) = 3/5
Итак, мы получили:
cos x = 4/5; sin x = 3/5.
sin 45x = sin (3*15x) = sin (3*3*5x)
Есть формулы синуса и косинуса 2a и 3a:
sin 2a = 2sin a*cos a
cos 2a = 2cos^2 a - 1
sin 3a = sin a*(3 - 4sin^2 a)
cos 3a = cos a*(4cos^2 a - 3)
Подставляем:
sin(5x) = sin(2x)*cos(3x) + cos(2x)*sin(3x) =
= 2sin x*cos x*cos x*(4cos^2 x - 3) + (2cos^2 x - 1)*sin x*(3 - 4sin^2 x) =
= 2*3/5*4/5*4/5*(4*16/25 - 3) + (2*16/25 - 1)*3/5*(3 - 4*9/25) =
= 96/5^3*(64/25 - 75/25) + (32/25 - 1)*3/5*(75/25 - 36/25) =
= 96/5^3*(-11)/5^2 + 7/5^2*3/5*39/5^2 =
= - 1056/5^5 + 819/5^5 = - 237/5^5
Итак, получили:
sin(5x) = - 237/5^5
sin^2(5x) = 56169/5^(10)

sin(45x) = sin (3*15x) = 3sin(15x) - 4sin^3(15x) = sin(15x)(3 - 4sin^2(15x))
Далее, точно также:
sin(15x) = 3sin(5x) - 4sin^3(5x)
Отсюда:
sin(45x) = (3sin(5x) - 4sin^3(5x))*(3 - 4(3sin(5x) - 4sin^3(5x))^2) =
= sin(5x)*(3 - 4sin^2(5x))*(3 - 4sin^2(5x)*(3 - 4sin^2(5x))^2
Теперь подставляем найденный sin(5x):
sin^2(5x) = (-237)^2/5^(10) = 56169/5^(10)
3 - 4sin^2(5x) = 3*5^(10)/5^(10) - 4*56169/5^(10) =
= 29072199/5^(10)

sin(45x) = (-237)/5^5*29072199/5^(10) *29072199/5^(10) *(29072199/5^(10))^2 =
= - 237*29072199^4/5^(45)

5^(45)*sin(45x) = - 237*29072199^4
Очевидно, это целое число.
Найдём его остаток от деления на 5.
Для этого достаточно найти последнюю цифру.
7*9^4 = 7*81^2
Это число кончается на 7, значит, остаток равен:
7 - 5 = 2.