Задача 68083 ...

637921394cfcd5727962e7cc

03.01.2023 21:57:58

Определить ранг матриц при различных значениях λ :
( 3 1 1 4
λ 4 10 1
1 7 17 3
2 2 4 3 )

626fab9a354ab65fb2f43abb

04.01.2023 22:56:10

★

[m]\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 & 4 \\
\lambda & 4 & 10 & 1 \\
1 & 7 & 17 & 3 \\
2 & 2 & 4 & 3 \\
\end{pmatrix}[/m]
Если определитель этой матрицы не равен 0, то ее ранг равен 4.
Если определитель равен 0 и есть минор 3х3 не равный 0, то ранг 3.
Разложим определитель по 1 столбцу:
[m]\begin{vmatrix}
3 & 1 & 1 & 4 \\
\lambda & 4 & 10 & 1 \\
1 & 7 & 17 & 3 \\
2 & 2 & 4 & 3 \\
\end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix}
4 & 10 & 1 \\
7 & 17 & 3 \\
2 & 4 & 3 \\
\end{vmatrix} - \lambda \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 4 \\
7 & 17 & 3 \\
2 & 4 & 3 \\
\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 4 \\
4 & 10 & 1 \\
2 & 4 & 3 \\
\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 4 \\
4 & 10 & 1 \\
7 & 17 & 3 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 3*(4*17*3 + 7*4*1 + 2*10*3 - 2*17*1 - 7*10*3 - 4*4*3) -
- λ*(1*17*3 + 7*4*4 + 1*2*3 - 2*17*4 - 7*1*3 - 1*4*3) +
+ (1*10*3 + 4*4*4 + 2*1*1 - 2*10*4 - 4*1*3 - 1*1*4) -
- 2*(1*10*3 + 4*17*4 + 7*1*1 - 7*10*4 - 1*4*3 - 1*1*17) =
= 3*(292 - 292) - λ*(169 - 169) + (96 - 96) - 2*(309 - 309) =
= 3*0 - λ*0 + 0 - 2*0 = 0
Определитель этой матрицы равен 0 при любом значении λ.
Возьмем минор 3х3, содержащий λ:
[m]\begin{vmatrix}
3 & 1 & 1 \\
\lambda & 4 & 10 \\
1 & 7 & 17\\
\end{vmatrix} = [/m]
= 3*4*17 + 1*λ*7 + 1*1*10 - 1*4*1 - λ*1*17 - 3*7*10 =
= 204 + 7λ + 10 - 4 - 17λ - 210 = -10λ
При любом λ ≠ 0 будет ранг матрицы 3.
При λ = 0 будет ранг матрицы 2.