Задача 68074 ...
Условие
{ x^2+y^2-a^2 ≤ 6x-4y-13
{ x^2+y^2-4a^2 ≤ 8y-10x+4a-40
Решение
{ x^2 + y^2 - 4a^2 ≤ 8y - 10x + 4a - 40
Собираем все переменные слева, а числа справа:
{ x^2 - 6x + y^2 + 4y ≤ a^2 - 13
{ x^2 + 10x + y^2 - 8y ≤ 4a^2 + 4a - 40
Выделяем полные квадраты:
{ (x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 ≤ a^2 - 13
{ (x^2 + 10x + 25) - 25 + (y^2 - 8y + 16) - 16 ≤ 4a^2 + 4a - 40
Сворачиваем квадраты:
{ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 13 ≤ a^2 - 13
{ (x + 5)^2 + (y - 4)^2 - 41 ≤ 4a^2 + 4a - 40
Приводим подобные:
{ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 ≤ a^2
{ (x + 5)^2 + (y - 4)^2 ≤ 4a^2 + 4a + 1
Преобразуем 2 неравенство:
{ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 ≤ a^2
{ (x + 5)^2 + (y - 4)^2 ≤ (2a + 1)^2
1 неравенство означает внутренность круга с центром (3; - 2) и радиусом а.
2 неравенство означает внутренность круга с центром (-5; 4) и радиусом 2а + 1.
Если система имеет ровно ОДНО решение, это значит, что круги касаются друг друга внешним образом.
То есть отрезок, соединяющий их центры, имеет длину, равную сумме радиусов.
sqrt((3+5)^2 + (-2-4)^2) = a + 2a + 1
sqrt(64 + 36) = 3a + 1
10 = 3a + 1
a = 3
Замечу в конце, что если бы это были не неравенства, а уравнения, тогда это были бы не внутренности кругов, а окружности.
В этом случае система имела бы ещё одно решение, когда окружности касаются друг друга внутренним образом.
Тогда длина отрезка равняется разности радиусов.
sqrt((3+5)^2 + (-2-4)^2) = 2a + 1 - a
sqrt(64 + 36) = a + 1
10 = a + 1
a = 9
Но к нам это не относится.
[b]Ответ: a = 3[/b]