Задача 68044 Найдите проекцию точки Р (–1; 4) на...

636636f2e1f2bb0e928d12d1

31.12.2022 09:44:13

Найдите проекцию точки Р (–1; 4) на прямую, проходящую через точки А (2; –3) и
В(–5; 2).

5f3ea7e3faf909182968ddd9

31.12.2022 17:43:34

★

Составляем уравнение прямой АВ:
y=kx+b
Подставляем координаты точек
А (2; –3) и В(–5; 2):

–3=k·2+b
2=k·(-5)+b

Решаем систему двух уравнений:
-5=7k

k=-5/7


b=–11/7

Уравнение прямой АВ:
y=(-5/7)x-(11/7)
или
5х+7у+11=0


Составляем уравнение прямой, перпендикулярной АВ:

( так как произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (–1), то

y=(7/5)x+m

Находим уравнение прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через точку Р.

Подставляем координаты точки Р (–1; 4)
4=(7/5)*(-1)+m
m=27/5

y=(7/5)x+(27/5)

Находим координаты точки пересечения прямой АВ

Решаем систему уравнений:
{y=(-5/7)x-(11/7)
{y=(7/5)x+(27/5)

или

{5х+7у+11=0
{7x-5y+27=0

Решаем [i]способом сложения.[/i]

Умножаем первое уравнение на 5, второе на 7:

{25х+35у+55=0
{49x-35y+189=0

Складываем

74х+244=0

x=-244/74

x=[b]-122/37[/b]


y=(7/5)*(-122/37)+(27/5)

y=[b]145/37[/b]

Это и есть координаты проекции точки Р на прямую АВ