Задача 68036 Дослідіть на екстремум функцію Розписати...

63aa2cd72a70c825343681e8

30.12.2022 22:45:50

Дослідіть на екстремум функцію
Розписати трошки
Дякую!!!

626fab9a354ab65fb2f43abb

31.12.2022 01:11:12

★

z = 3x^2 - x^3 + 3y^2 + 4y

Необходимое условие экстремума:
Все частные производные 1 порядка должны быть равны 0.
{ dz/dx = 6x - 3x^2 = 0
{ dz/dy = 6y + 4 = 0
Решаем:
{ 3x(2 - x) = 0
{ 6y = -4
Получаем:
{ x1 = 0; x2 = 2
{ y = -2/3
Критические точки:
A1(0; -2/3); z(0; -2/3) = 0 - 0 + 3*4/9 - 4*2/3 = 4/3 - 8/3 = -4/3
A2(2; -2/3); z(2; -2/3) = 3*4 - 8 + 3*4/9 - 4*2/3 = 4 - 4/3 = 8/3

Находим производные 2 порядка:
A = d^2z/dx^2 = 6 - 6x
B = d^2z/(dxdy) = 0
C = d^2z/dy^2 = 6
D = A*C - B^2 = (6 - 6x)*6 - 0 = 36 - 36x

Достаточное условие экстремума:
Если D > 0 и A < 0 - это точка максимума.
Если D > 0 и A > 0 - это точка минимума.
Если D < 0 - это вообще не экстремум, а "седловая точка".
Если D = 0 - непонятно, нужны дополнительные исследования.

В точке A1(0; -2/3) будет:
D = 36 - 36*0 = 36 > 0; A = 6 - 6*0 = 6 > 0
Это точка минимума.
В точке A2(2; -2/3) будет:
D = 36 - 36*2 = 36 - 72 = -36 < 0 - это не экстремум, а "седловая точка".

Ответ:
A1(0; -2/3); z(0; -2/3) = -4/3 - точка минимума.
A2(2; -2/3); z(2; -2/3) = 8/3 - "седловая точка".