Задача 68033 x(xy'-1)ln(x)=2y, y(e)=0...
Условие
Решение
[m]xy' - 1 = \frac{2y}{x \cdot ln(x)}[/m]
[m]xy' - \frac{2y}{x \cdot ln(x)} = 1[/m]
[m]y' - \frac{2y}{x^2 \cdot ln(x)} = \frac{1}{x}[/m]
Получили неоднородное линейное уравнение 1 порядка вида:
y' + y*f(x) = g(x)
Решается заменой: y = u*v; y' = u'*v + u*v'
[m]u' \cdot v + u \cdot v' - \frac{2u \cdot v}{x^2 \cdot ln(x)} = \frac{1}{x}[/m]
Выносим u за скобки:
[m]u' \cdot v + u \cdot (v' - \frac{2v}{x^2 \cdot ln(x)}) = \frac{1}{x}[/m]
Скобку приравниваем к 0:
[m]v' - \frac{2v}{x^2 \cdot ln(x)} = 0[/m]
[m]\frac{dv}{dx} = \frac{2v}{x^2 \cdot ln(x)}[/m]
[m]\frac{dv}{v} = \frac{2dx}{x^2 \cdot ln(x)}[/m]
Левая часть равна ln(v), а вот правая - нечто невероятно сложное!
Я дам ссылку на Вольфрам Альфа с решением правого интеграла:
https://www.wolframalpha.com/input?i=%5Cint+%5Cfrac%7B2dx%7D%7Bx%5E2+%5Ccdot+ln%28x%29%7D
В Вольфрам Альфа эта функция условно обозначена как 2Ei(-ln(x)).
Я не знаю, что это значит, но буду так её и обозначать.
Отсюда получаем: v = e^(2Ei(-ln(x)))
Дальше подставляем v в наше уравнение:
[m]u' \cdot e^{2Ei(-ln(x))} + u \cdot 0 = \frac{1}{x}[/m]
[m]u' = \frac{1}{x \cdot e^{2Ei(-ln(x))}}[/m]
Осталось взять этот интеграл, но с этим даже Вольфрам Альфа справиться не может.