Задача 68010 Найдите все значения параметра a, при...

63a9ed1e840bdf0d3383529a

28.12.2022 20:29:58

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x^2-2(a+3)x+a^2-3a+2=0 имеет два различных корня,
противоположных по знаку. Спасибо!

626fab9a354ab65fb2f43abb

28.12.2022 22:59:23

★

x^2 - 2(a+3)x + (a^2 - 3a + 2) = 0
D/4 = (a+3)^2 - (a^2 - 3a + 2) = a^2 + 6a + 9 - a^2 + 3a - 2 = 9a + 7
Если уравнение имеет два разных корня, то D > 0
9a + 7 > 0
a > - 7/9
Заметим, что:
a + 3 > 3 - 7/9
Для нас главное, что a + 3 > 0 при любом а > - 7/9.
Находим корни. Они должны быть разного знака.
x1 = a + 3 - sqrt(9a+7)
x2 = a + 3 + sqrt(9a+7)
Очевидно, что x2 > x1, поэтому:
{ a + 3 - sqrt(9a+7) < 0
{ a + 3 + sqrt(9a+7) > 0
Выделяем корни
{ a + 3 < sqrt(9a+7)
{ sqrt(9a+7) > - a - 3
Так как a + 3 > 0, то - a - 3 < 0.
При этом корень арифметический, то есть:
sqrt(9a+7) ≥ 0
Поэтому система превращается в одно неравенство:
sqrt(9a+7) > a + 3
Возводим в квадрат неравенство:
9a + 7 > a^2 + 6a + 9
a^2 - 3a + 2 < 0
(a - 1)(a - 2) < 0
a ∈ (1; 2)