Задача 67911 Даны точки A1(1 3 0): A2(0 1 –2), A3(0 2...
Условие
Решение
Площадь треугольника A1A2A3:
[m]S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(XY)^2 + (YZ)^2 + (ZX)^2}[/m]
Здесь XY, YZ и ZX - это матрицы 2 порядка:
[m]XY = \begin{vmatrix}
x2-x1 & y2-y1 \\
x3-x1 & y3-y1 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
0-1 & 1-3 \\
0-1 & 2-3 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
-1 & -2 \\
-1 & -1 \\
\end{vmatrix} = (-1)(-1) - (-1)(-2) = 1 - 2 = -1[/m]
[m]YZ = \begin{vmatrix}
y2-y1 & z2-z1 \\
y3-y1 & z3-z1 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1-3 & -2-0 \\
2-3 & -3-0 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
-2 & -2 \\
-1 & -3 \\
\end{vmatrix} = (-2)(-3) - (-1)(-2) = 6 - 2 = 4[/m]
[m]ZX = \begin{vmatrix}
z2-z1 & x2-x1 \\
z3-z1 & x3-x1 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
-2-0 & 0-1 \\
-3-0 & 0-1 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
-2 & -1 \\
-3 & -1 \\
\end{vmatrix} = (-2)(-1) - (-3)(-1) = 2 - 3 = -1[/m]
Площадь треугольника A1A2A3:
[m]S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + (4)^2 + (-1)^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1+16+1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{18} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}[/m]