Задача 67844 Найти площадь треугольника А1А2А3; Объем...
Условие
А1(-3;7;1)
А2(-7;8;2)
А3(-1;5;3)
А4(7;6;1)
Решение
[m]S_{ Δ A_{1}A_{2}A_{3}}=\frac{1}{2}\cdot |\vec{A_{1}A_{2}} × \vec{A_{1}A_{3}}|[/m]
[m]\vec{A_{1}A_{2}}=(-7-(-3); 8-7;2-1)=(-4;1;1)[/m]
[m]\vec{A_{1}A_{3}}=(-1-(-3); 5-7;3-1)=(2;-2;2)[/m]
Найдем векторное произведение векторов:
[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-4&1&1\\2&-2&2\end {vmatrix}=[/m]
Раскрываем определитель по правилу треугольника:
[m]=2\vec{i}+2\vec{j}+8\vec{k}-2\vec{k}+2\vec{i}+8\vec{j}=4\vec{i}+10\vec{j}+6\vec{k}[/m]
Получили вектор с координатами (4;10;6)
Модуль векторного произведения - длина этого вектора
[m]|\vec{A_{1}A_{2}} × \vec{A_{1}A_{3}}|=\sqrt{4^2+10^2+6^2}=\sqrt{152}=2\sqrt{38}[/m]
[m]S_{ Δ A_{1}A_{2}A_{3}}=\frac{1}{2}\cdot |2\sqrt{38}|=\sqrt{38}[/m]
2)
[m]V=\frac{1}{6}|(\vec{A_{1}A_{2}},\vec{A_{1}A_{3}} ,\vec{A_{1}A_{4}})|[/m]
[m]\vec{A_{1}A_{2}}=(-7-(-3); 8-7;2-1)=(-4;1;1)[/m]
[m]\vec{A_{1}A_{3}}=(-1-(-3); 5-7;3-1)=(2;-2;2)[/m]
[m]\vec{A_{1}A_{4}}=(7-(-3); 6-7;1-1)=(10;-1;0)[/m]
Найдем смешанное произведение векторов:
[m]
(\vec{A_{1}A_{2}},\vec{A_{1}A_{3}} ,\vec{A_{1}A_{4} })=\begin {vmatrix} -4&1&1\\2&-2&2\\10&-1&0\end {vmatrix}=0+20-2+20-8-0=30[/m]
[m]V=\frac{1}{6}|30|=5[/m]
