Задача 67801 Составьте уравнение линии, каждая точка...

63a35ded1b004e3b96e21419

22.12.2022 08:56:23

Составьте уравнение линии, каждая точка М которой удовлетворяет заданным условиям. Отстоит от прямой х=14 на расстоянии, в два раза меньшем, чем от точки 4(2,3).

5f3ea7e3faf909182968ddd9

22.12.2022 09:25:03

★

Пусть M (x;y)- произвольная точка кривой

[m]|AM|=\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}[/m]

Расстояние от точки M(x;y) до прямой x=14

d=|14-x|

По условию d в два раза меньше |AM|

Составляем уравнение:

[m]\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}=2\cdot |14-x|[/m]

Возводим в квадрат

[m](x-2)^2+(y-3)^2=4\cdot (14-x)^2[/m]

Упрощаем:

[m]4*(14-x)^2-(x-2)^2-(y-3)^2=0[/m]

[m](2(14-x)-(x-2))*(2(14-x)+(x-2)-(y-3)^2=0[/m]

[m](30-3x)(26-x)-(y-3)^2=0[/m]

Выделяем полный квадрат относительно переменной х:

[m]780-108x+3x^2-(y-3)^2=0[/m]

[m]780+3(x^2-36x+324-324)-(y-3)^2=0[/m]

[m]3(x-18)^2-(y-3)^2=192[/m]

[m]\frac{(x-18)^2}{64}-\frac{(y-3)^2}{192}=1[/m] - каноническое уравнение гиперболы