Задача 67798 Решить дифференциальное уравнение...

605093214e5bc029c13759da

22.12.2022 08:46:33

Решить дифференциальное уравнение первого порядка

y'xlnx + y = x^3

5f3ea7e3faf909182968ddd9

22.12.2022 10:07:51

★

Делим на

xlnx

y`+(1/(xlnx))y=-x^3/(xlnx)

Это линейное уравнение первого порядка вида

y`+p(x)*y=q(x)

p(x)=1/(xlnx)

q(x)=-x^2/(lnx)


Решаем методом Бернулли.

Находим решение в виде произведения двух функций

y=u*v

y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:

u`*v+u*v`+(1/(xlnx))*u*v=-x^2/(lnx)

Группируем:

u`*v+u*(v`+(1/(xlnx))*v)=-x^2/(lnx)


Полагаем
v`+(1/(xlnx))=0

Тогда
u`*v=-x^2/(lnx)


Решаем первое уравнение:
v`+(1/(xlnx))=0

dv/v=-dx/xlnx

Интегрируем

∫ dv/v=- ∫ dx/xlnx

ln|v|=-ln|lnx|

[b]v=1/lnx[/b]


Решаем первое уравнение:
u`*v=-x^2/(lnx)


u`*(1/lnx)=-x^2/(lnx)

u`=-x^2

u=-(x^3/3)+C


y=u*v

[b]y=(-(x^3/3)+C)/lnx[/b]