Задача 67796 Решить дифференциальное уравнение...

605093214e5bc029c13759da

22.12.2022 08:45:43

Решить дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными (2x+y)dx+(x+2y)dy=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

22.12.2022 09:53:09

★

Это однородное уравнение

Решаем методом [i]замены переменной[/i]

y/x=u

y=x*u

dy=xdu+udx

Подставляем

y=x*u и dy=xdu+udx

в уравнение:
(2x+x*u)dx+(x+2x*u)(xdu+udx)=0

Перегруппировываем

(2x+x*u)dx+(x+2x*u)*xdu+(x+2x*u)*udx=0

(2x+x*u+x*u+2xu^2)dx+(x^2+2x^2*u)du=0

получаем
x*(2+2u+2u^2)dx=-x^2*(1+2u)du - уравнение с разделяющимися переменными

dx/x=-(1+2u)du/(2u^2+2u+2)

Интегрируем:

∫ dx/x=- ∫ (1+2u)du/(2u^2+2u+2)

ln|x|=-(1/2)ln|u^2+u+1|+lnC

[b]x=C/sqrt(u^2+u+1)[/b]