Задача 67783 Найти решение линейного неоднородного...
Условие
Решение
Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
y’’ + 4y =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4=0
k_(1)=-2i; k_(2)=2i - корни комплексно- сопряженные
α=0
β =2
Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^( α x)*(С_(1)*cosβx+C_(2)*sinβx)
y_(одн.)=e^( -0* x)*(С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x)
Правая часть
f(x)=sin^2x
f(x)=(1-cos2x)/2
f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)
f_(1)(x)=1/2
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част_(1) ) =М
y`_(част_(1) ) =0
y``_(част_(1))=0
Подставляем в уравнение:
0+4М=1/2
М=1/8
[b]y_(част_(1) ) =1/8[/b]
f_(2)(x)=-cos2x/2
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част_(2) ) =x*(Аcos2x+Bsin2x)
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част_(2))=x`*(Аcos2x+Bsin2x)+x*(Аcos2x+Bsin2x)`=Аcos2x+Bsin2x+x*(-2Asin2x+2Bcos2x)
y``_(част_(2))=-4Acos2x-4Bsin2x+(-2Asin2x+2Bcos2x)+x*(-4Acos2x-4Bsin2x)
подставляем в данное уравнение:
-4Acos2x-4Bsin2x+(-2Asin2x+2Bcos2x)+x*(-4Acos2x-4Bsin2x)+4*x*(Аcos2x+Bsin2x)=-cos2x/2
Находим А и В
А=0
В=-1/8
y_(част_(2) ) =x*((-1/8)sin2x)
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част_(1) )+y_(част_(2) )=С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x+(1/8)-(1/8)*(x*sin2x)