Задача 67782 Найти решение линейного неоднородного...

605093214e5bc029c13759da

21.12.2022 21:49:42

Найти решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

5f3ea7e3faf909182968ddd9

22.12.2022 00:04:51

★

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y’’ - 4y` =0

Составляем характеристическое уравнение:

k^2-4k=0

k_(1)=0; k_(2)=4 - корни действительные различные



Общее решение однородного имеет вид:

y_(одн.)=С_(1)*e^( k_(1)*x)+C_(2)*e^( k_(2)*x)

y_(одн.)=С_(1)*e^( 0*x)+C_(2)*e^(4*x)


Правая часть
f(x)=x*e^(4x)


частное решение неоднородного уравнение находим в виде:

y_(част ) =(Ax+B)*x*e^(4x)

y_(част ) =(Ax^2+Bx)*e^(4x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=(2Ax+B)*e^(4x)+4*(Ax^2+Bx)*e^(4x) ⇒ y`_(част)=(2Ax+B+4Ax^2+4Bx)*e^(4x)

y``_(част)=(2A+8Ax+4B)*e^(4x)+4*(2Ax+B+4Ax^2+4Bx)*e^(4x) ⇒ y``_(част)=(2A+8Ax+4B+8Ax+4B+16Ax^2+16Bx)*e^(4x)

y``_(част)=(2A+16Ax+8B+16Ax^2+16Bx)*e^(4x))

подставляем в данное уравнение:

(2A+16Ax+8B+16Ax^2+16Bx -8Ax-4B-16Ax^2-16Bx )*e^(4x)=xe^(4x)
2A+8Ax+4B=x
8A=1 ⇒ A=1/8
2A+4B=0 ⇒ B=-1/16



y_(част ) =((1/8)x-(1/16))*x*e^(4x)

Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част )+y_(част_(2) )=С_(1)+C_(2)*e^(4x)+((1/8)x-(1/16))*x*e^(4x)