Задача 67781 Найти решение линейного неоднородного...
Условие
Решение
Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
y’’ - 2y`+y =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+1=0
k_(1)= k_(2)=1 - корни действительны кратные
Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^( k_(1)*x)+C_(2)*x*e^( k_(1)*x)
y_(одн.)=С_(1)*e^( x)+C_(2)*x*e^(x)
Правая часть
f(x)=x^3
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част ) =Ax^3+Bx^2+Cx+D
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част)=3Ax^2+2Bx+C
y``_(част)=6Ax+2B
подставляем в данное уравнение:
6Ax+2B-2*(3Ax^2+2Bx+C)+Ax^3+Bx^2+Cx+D=x^3
Ax^3+(B-6A)x^2+(6A-4B+C)x+(D+2B-2C)=x^3
A=1
B-6A=0⇒ B=6
6A-4B+C=0⇒ C=18
D+2B-2C⇒ D=24
y_(част ) =x^3+6x^2+18x+24
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част )+y_(част_(2) )=С_(1)e^(x)+C_(2)x*e^(x)+x^3+6x^2+18x+24