Задача 67780 Дифференциальные уравнения первого...

605093214e5bc029c13759da

21.12.2022 21:36:52

Дифференциальные уравнения первого порядка

y' + y/(x+1) + x^2 = 0, y(0) = 2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

22.12.2022 00:26:12

★

Линейное неоднородное первого порядка вида

y`+p(x)*y=g(x)

p(x)=1/(x+1)

g(x)=-x^2

Решаем однородное:
y'+(y/(x+1))=0

Это уравнение с разделяющимися переменными
y`=dy/dx

dy/dx=-y/(x+1)

Разделяем переменные

dy/y=-dx/(x+1)

Интегрируем

∫ dy/y=- ∫dx/(x+1)


ln|y|=-ln|x+1|+lnC

y=C/(x+1)



Применяем метод вариации произвольной постоянной
y=C(x)*/(x+1)


y`=(C`(x)*(x+1)-C(x)*(x+1)`)/(x+1)^2

y`=(C`(x)*(x+1)-C(x)*1)/(x+1)^2


Подставляем в уравнение

(C`(x)*(x+1)-C(x)*1)/(x+1)^2 + C(x)*/(x+1)^2=-x^2

C`(x)/(x+1)=-x^2 - уравнение с разделяющимися переменными

dC(x)/dx=-x^2*(x+1)

Интегрируем

C(x)= ∫ (-x^3-x^2)dx


C(x)=(-x^4/4)+(-x^3/3) + C


y=C(x)/(x+1)


y=((-x^4/4)+(-x^3/3) + C)/(x+1)

О т в е т: