Задача 67758 Решите уравнение...

6393e228da13574722e5a94f

18.12.2022 04:31:24

Решите уравнение sin(2x-п/6)=sin^2x-0.5cos2x. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-3п/2;0)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

01.01.2023 12:07:21

★

По формуле синуса разности:

[m]sin(2x-\frac{π}{6})=sin2x\cdot cos\frac{π}{6}-cos2x\cdot sin\frac{π}{6}[/m]

По формулам понижения степени:

[m]sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}[/m]


Уравнение принимает вид:

[m]sin2x\cdot cos\frac{π}{6}-cos2x\cdot sin\frac{π}{6}=\frac{1-cos2x}{2}-0,5\cdot cos2x[/m]


[m] cos\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

[m]sin\frac{π}{6}=\frac{1}{2}[/m]


[m]\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot sin2x-\frac{1}{2}\cdot cos2x=\frac{1-cos2x}{2}-0,5\cdot cos2x[/m]

[m]\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot sin2x+\frac{1}{2}\cdot cos2x=\frac{1}{2}[/m]


Решаем [i]методом введения вспомогательного угла[/i]

Заменим


[m]\frac{\sqrt{3}}{2}=sin\frac{π}{3}[/m]


[m]\frac{1}{2}=cos\frac{π}{3}[/m]


[m]sin\frac{π}{3} \cdot sin2x+cos\frac{π}{3}\cdot cos2x=\frac{1}{2}[/m]


Применяем формулу косинуса разности двух аргументов

[m]cos α cos β +sin α sin β =cos( α - β )[/m]

( можно было и так: [m] \frac{\sqrt{3}}{2}=cos\frac{π}{6}[/m] ;[m]\frac{1}{2}=sin\frac{π}{6}[/m] и применить формулу синуса суммы двух углов)


[m]cos(2x-\frac{π}{3})=\frac{1}{2}[/m] - простейшее тригонометрическое уравнение

[m](2x-\frac{π}{3})= ±arccos \frac{1}{2}+2πn, n ∈ [/m] [b] Z[/b]

[m]2x=\frac{π}{3} ±\frac{π}{3}+2πn, n ∈ [/m] [b] Z[/b]


Две серии ответов:

[m]2x=\frac{π}{3} +\frac{π}{3}+2πk, k ∈ [/m] [b] Z[/b] ИЛИ [m]2x=\frac{π}{3} -\frac{π}{3}+2πn, n ∈ [/m] [b] Z[/b]

[m]2x=\frac{2π}{3} +2πk, k ∈ [/m] [b] Z[/b] ИЛИ [m]2x=2πn, n ∈ [/m] [b] Z[/b]

Делим на 2:

[m]x=\frac{π}{3} +πk, k ∈ [/m] [b] Z[/b] ИЛИ [m]x=πn, n ∈ [/m] [b] Z[/b]

Изобразим обе серии на единичной окружности:


О т в е т.
a) [m]\frac{π}{3} +πk, k ∈ [/m] [b] Z[/b] ; [m]πn, n ∈ [/m] [b] Z[/b]

б) Промежутку [m][\frac{3π}{2};0)[/m] принадлежат два корня:
[m]\frac{π}{3} -π=-\frac{2π}{3}[/m] и [m]π[/m]