Задача 67746 Вычислить площадь фигуры ограниченной...
Условие
Решение
[m]S= ∫ _{-1}^{1}(x+1)dx+ ∫ _{1}^{2}((x+1)-(x^2-1))dx=∫ _{-1}^{1}(x+1)dx+ ∫ _{1}^{2}(x+1-x^2+1)dx=(\frac{x^2}{2}+x)|_{-1}^{1}+ (\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+2x)|_{1}^{2}=[/m]
[m]=(\frac{1^2}{2}+1)-(\frac{(-1)^2}{2}+(-1))+(\frac{2^2}{2}-\frac{2^3}{3}+2\cdot 2)-(\frac{1^2}{2}-\frac{1^3}{3}+2\cdot 1)=\frac{3}{2}-(-\frac{1}{2})+(2-\frac{8}{3}+4)-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+2)=\frac{19}{6}[/m]
При интегрировании по переменной у получаем одну криволинейную трапецию:
на [0;3]
y=x+1 ⇒ x=y-1
y=x^2-1 ⇒ x^2=y+1 ⇒ x= ± sqrt(y+1)
правая ветвь
x= sqrt(y+1)
[m]S= ∫ _{0}^{3}(\sqrt{y+1}-(y-1))dy=(\frac{(y+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{y^2}{2}+y)| _{0}^{3}=\frac{2}{3}\sqrt{(3+1)^3}-\frac{2}{3}\sqrt{(0+1)^3}-\frac{3^2}{2}+3=\frac{2}{3}\cdot 8-\frac{2}{3}-\frac{9}{2}+3=\frac{19}{6}[/m]
