Задача 67740 ...
Условие
в) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой, F – фокус, a – большая (действительная) полуось, b – малая (мнимая) полуось, ε – эксцентриситет; y kx = ± – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2c – фокусное расстояние).
Решение
Каноническое уравнение эллипса:
[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
[m]A(0;-\sqrt{11}) [/m]
Подставляем координаты точки А
[m]\frac{0^2}{a^2}+\frac{(-\sqrt{11}^2}{b^2}=1[/m]
[m]b^2=11[/m][red] ( !)[/red]
( cм. рис. )
[m]ε =\frac{c}{b}[/m]
[m]ε =\frac{5}{6}[/m] ⇒ [m] c=\frac{5\sqrt{11}}{6}[/m]
[m]a^2=b^2-c^2=(\sqrt{11}^2-(\frac{5\sqrt{11}}{6})^2=\frac{121}{36}[/m]
Каноническое уравнение эллипса:
[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
О т в е т.
[m]\frac{x^2}{\frac{121}{36}}+\frac{y^2}{11}=1[/m]
б)
[m]А(\sqrt{\frac{32}{3}};1);[/m]
[m]В(\sqrt{8};0) [/m]
Каноническое уравнение гиперболы
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
Подставляем координаты точек А и В в это уравнение:
[m]\frac{(\sqrt{\frac{32}{3}})^2}{a^2}-\frac{1^2}{b^2}=1[/m]⇒[m]\frac{\frac{32}{3}}{a^2}-\frac{1^2}{b^2}=1[/m]
[m]\frac{(\sqrt{8})^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1[/m] ⇒ [m]\frac{8}{a^2}=1[/m]
Решаем систему двух уравнений:
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{\frac{32}{3}}{a^2}-\frac{1^2}{b^2}=1\\\frac{8}{a^2}=1\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{\frac{32}{3}}{8}-\frac{1^2}{b^2}=1\\a^2=8\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{32}{24}-1=\frac{1^2}{b^2}\\a^2=8\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}b^2=3\\a^2=8\end {matrix}\right.[/m]
О т в е т.
[blue][m]\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{3}=1[/m][/blue]
в)D: y=- 4
если каноническое уравнение параболы имеет вид
x^2=2py, то фокус параболы в точке F(0; p/2)
а уравнение директрисы имеет вид:
D: y=- p/2
Значит,
-p/2=-4
p=8
2p=16
О т в е т. x^2 = 16y 