Задача 67730 ...
Условие
Найти производную функции, заданной неявно: x + yln(x² – y) – x3 – y2=0, в точке М(1:0).
Решение
y- функция, зависящая от х
Дифференцируем обе части равенства:
(x + yln(x² – y) – x^3 – y^2)`=(0)`
y*ln(x^2-y) - произведение. Применяем формулу нахождения производной произведения
(y*ln(x^2-y))`=y`*ln(x^2-y)+y*(ln(x^2-y))`
ln(x^2-y) - сложная функция Применяем формулу (lnu)`=u`/u
[m](ln(x^2-y))`=\frac{1}{x^2-y}\cdot (x^2-y)`[/m]
Получаем:
1+y`*ln(x^2-y)+y*(ln(x^2-y))`-3x^2-2y*y`=0
1+y`*ln(x^2-y)+y*[m]\frac{1}{x^2-y}\cdot (x^2-y)`[/m]-3x^2-2y*y`=0
1+y`*ln(x^2-y)+y*[m]\frac{1}{x^2-y}\cdot (2x-y`)[/m]-3x^2-2y*y`=0
y`(ln(x^2-y)-2y-[m]\frac{y}{x^2-2y}[/m])=3x^2-1-[m]\frac{2xy}{(x^2-2y}[/m]
y`=[b]([/b]3x^2-1-[m]\frac{2xy}{(x^2-y}[/m][b])[/b]/(ln(x^2-y)-2y-[m]\frac{y}{x^2-y})[/m]
y`(M)=[b]([/b]3*1^2-1+(2*1*0y)/(1^2-0)[b])[/b]/(ln(1^2-0)-2*0-(0/(1^2-0))
y`(M)=2/(0)
y`(M)= ∞
Все решения
x + y*ln(x^2 – y) – x^3 – y^2 = 0
Берем производную по x, учитывая, что y - это функция y(x).
1 + y'*ln(x^2 – y) + y*(2x - y')/(x^2 - y) - 3x^2 - 2y*y' = 0
1 + y'*ln(x^2 – y) + 2xy/(x^2 - y) - yy'/(x^2 - y) - 3x^2 - 2y*y' = 0
Выделим отсюда y':
y'*ln(x^2 – y) - yy'/(x^2 - y) - 2y*y' = -1 - 2xy/(x^2 - y) + 3x^2
y'*[ln(x^2 – y) - y/(x^2 - y) - 2y] = -1 - 2xy/(x^2 - y) + 3x^2
[m]y' = \frac{-1 - 2xy/(x^2 - y) + 3x^2}{ln(x^2 – y) - y/(x^2 - y) - 2y}[/m]
В точке M(1; 0) получается:
[m]y' = \frac{-1 - 0 + 3}{ln(1) - 0 - 0} = \frac{2}{0} = oo[/m]
В этой точке производная не определена, она бесконечно большая.