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Условие
2a(1+x^2)^(1/2) (x+(1+x^2)^(1/2))^(-1)
Решение
⇒
[m]x=\frac{1}{2}(\frac{a}{b})^{\frac{1}{2}}-(\frac{b}{a})^{\frac{1}{2}})[/m] ⇒ a>0; b>0
[m]x=\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}})[/m]
[m]x=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}-\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}}{\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}}[/m]
[m]x=\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}[/m]
[m]x^2=\frac{(a-b)^2}{4ab}[/m]
Тогда
[m]2a(1+x^2)^{\frac{1}{2}}\cdot (x+(1+x^2)^{\frac{1}{2}})^{-1}=\frac{2a\cdot \sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}[/m]
при
[m]x=\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}[/m]
[m]x^2=\frac{(a-b)^2}{4ab}[/m]
[m]\frac{2a\cdot \sqrt{1+\frac{(a-b)^2}{4ab}}}{\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}+\sqrt{1+\frac{(a-b)^2}{4ab}}}=\frac{2a\cdot \sqrt{\frac{4ab+(a-b)^2}{4ab}}}{\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}+\sqrt{\frac{4ab+(a-b)^2}{4ab}}}=\frac{2a\cdot \sqrt{\frac{(a+b)^2}{4ab}}}{\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}+\sqrt{\frac{(a+b)^2}{4ab}}}=\frac{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a+b)}{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}=a+b[/m]