Задача 67698 2.26. Известны уравнения двух сторон...
Условие
2.27. Найти точку E пересечения медиан треугольника, вершинами — которого ЯВЛЯюТся — точки ...
Решение
(AB) : 2x - 5y - 1 = 0
(CD) : 2x - 5y - 34 = 0
Уравнение диагонали:
(AC) : x + 3y - 6 = 0
Найти уравнение второй диагонали (BD).
Решение.
Найдём точку А пересечения одной стороны с диагональю.
{ 2x - 5y - 1 = 0
{ x + 3y - 6 = 0
Умножаем 2 уравнение на -2:
{ 2x - 5y - 1 = 0
{ -2x - 6y + 12 = 0
Складываем уравнения:
2x - 5y - 1 - 2x - 6y + 12 = 0
-11y + 11 = 0
y = 1
2x - 5*1 - 1 = 0
2x - 6 = 0
x = 3
[b]A(3; 1)[/b]
Найдём точку С пересечения другой стороны с диагональю.
{ 2x - 5y - 34 = 0
{ x + 3y - 6 = 0
Умножаем 2 уравнение на -2:
{ 2x - 5y - 34 = 0
{ -2x - 6y + 12 = 0
Складываем уравнения:
2x - 5y - 34 - 2x - 6y + 12 = 0
-11y - 22 = 0
y = -2
2x - 5*(-2) - 34 = 0
2x - 24 = 0
x = 12
[b]C(12; -2)[/b]
Диагональ BD перпендикулярна AC, поэтому её уравнение:
a(x - x0) + b(y - y0) = 0
Где (x0; y0) - координаты точки, через которую она проходит.
Так как у прямой АС коэффициенты a(AC) = 1; b(AC) = 3, то у прямой BD коэффициенты а(BD) и b(BD) отвечают уравнению:
a(AC)*a(BD) + b(AC)*b(BD) = 0
a*1 + b*3 = 0
a = 3; b = -1
Точка F пересечения диагоналей - это середина отрезка [AC].
Её координаты - это средние арифметические A и C.
F((3+12)/2; (1-2)/2)
[b]F(7,5; -0,5)[/b]
Диагональ BD проходит через точку F и перпендикулярна AC.
Её уравнение:
3(x - 7,5) - (y + 0,5) = 0
3x - 3*7,5 - y - 0,5 = 0
3x - y - 22,5 - 0,5 = 0
[b]3x - y - 23 = 0[/b]
Что и требовалось доказать.
На 1 рисунке я изобразил этот ромб.
Найденные прямые цветными линиями, BC и AD сам дорисовал черными.
2.27. Даны вершины треугольника: A(3; -1); B(7; 5); C(5; -3)
Найти координаты точки Е пересечения медиан.
Решение:
Точка M1 - конец медианы AM1 - это середина BC.
Точка M2 - конец медианы BM2 - это середина AC.
Их координаты - это средние арифметические координат вершин.
M1((7 + 5)/2; (5 - 3)/2)
[b]M1(6; 1)[/b]
M2((3 + 5)/2; (-1 - 3)/2)
[b]M2(4; -2)[/b]
Уравнения медиан через две точки:
(AM1) : (x - 3)/(6 - 3) = (y + 1)/(1 + 1)
(x - 3)/3 = (y + 1)/2
2(x - 3) = 3(y + 1)
2x - 6 - 3y - 3 = 0
[b](AM1) : 2x - 3y - 9 = 0[/b]
(BM2) : (x - 7)/(4 - 7) = (y - 5)/(-2 - 5)
(x - 7)/(-3) = (y - 5)/(-7)
7(x - 7) = 3(y - 5)
7x - 49 - 3y + 15 = 0
[b](BM2) : 7x - 3y - 34 = 0[/b]
Находим точку пересечения этих двух медиан.
{ 2x - 3y - 9 = 0
{ 7x - 3y - 34 = 0
Умножаем 1 уравнение на -1:
{ -2x + 3y + 9 = 0
{ 7x - 3y - 34 = 0
Складываем уравнения:
-2x + 3y + 9 + 7x - 3y - 34 = 0
5x - 25 = 0
x = 5
-2*5 + 3y + 9 = 0
3y = 10 - 9 = 1
y = 1/3
[b]E(5; 1/3)[/b]
Получилось вовсе не (3; 1), как сказано в ответе,
поэтому проверим третью медиану CM3.
M3((3 + 7)/2; (-1 + 5)/2)
[b]M3(5; 2)[/b]
(CM3) : (x - 5)/(5 - 5) = (y - 2)/(-3 - 2)
(x - 5)/0 = (y - 2)/(-5)
В данном случае деление на 0 - законно.
Оно означает, что CM3 параллельна оси Oy.
[b](CM3) : x = 5[/b]
Найдем точку пересечения медиан AM1 и CM3:
{ 2x - 3y - 9 = 0
{ x = 5
2*5 - 3y - 9 = 0
10 - 9 = 3y
y = 1/3
Получили тоже самое:
[b]E(5; 1/3)[/b]
На 2 рисунке всё показано.
