Задача 67672 С помощью выделения полного квадрата...

639f5c2c46194a06fd2f3153

18.12.2022 21:50:01

С помощью выделения полного квадрата привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду.
Определить тип кривой. Найти ее полуоси, эксцентриситет, координаты вершин и фокусов, уравнения директрис и асимптот
(если они имеются).
Сделать чертеж.

4x^(2)+8x+3y^(2)-30y+67=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

18.12.2022 22:20:59

★

4x^2+8x+3y^2–30y+67=0

Группируем

(4x^2+8x)+(3y^2–30y)+67=0

4*(x^2+2x)+3*(y^2-10y)+67=0

Добавляем слагаемые для полного квадрата и отнимаем

4*(x^2+2x+1-1)+3*(y^2-10y+25-25)+67=0

4*(x^2+2x+1)-4+3*(y^2-10y+25)-75+67=0

4*(x+1)^2+3*(y-5)^2=12

Делим на 12:

((x+1)^2/3) + (y-5)^2/4 =1 - уравнение эллипса со смещенным центром

C(-1;5)

a^2=3

a=sqrt(3) - малая полуось

b^2=4

b=2 - большая полуось


a^2=b^2-c^2

c^2=b^2-c^2=4-3=1

c=1

x=-1 - линия фокусов

Фокусы на расстоянии c=1 от центра

F_(1)(5-1;-1); F_(2)(5+1;-1)

F_(1)(4;-1); F_(2)(6;-1)

ε =c/b=[b]1/2[/b] - 'эксцентриситет

Уравнения директрис ( c учетом смещения центра)

y=5 ± (b/ ε)

y=5 ± (b^2/c)

y=5 ± 4 ⇒ [b]y=-1; y=9[/b]