Задача 67653 Найдите общее решение дифференциального...
Условие
xy''+2y' = x^3
y''-2y'tgx = sinx
Решение
Это неоднородное уравнение второго порядка
Делим на х:
[m]y``+\frac{2}{x}y`=x^2[/m]
Применяем метод понижения степени
Пусть
[m] y`=z[/m]
тогда
[m] y``=z`[/m]
[m]z`+\frac{2}{x}z=x^2[/m]
Решаем однородное
[m]z`+\frac{2}{x}z=0[/m] - это уравнение с разделяющимися переменными
[m]z`=\frac{dz}{dx}[/m]
[m]\frac{dz}{dx}+\frac{2}{x}z=0[/m] ⇒ [m]\frac{dz}{z}=-2\frac{dx}{x}[/m]
Интегрируем
[m] ∫ \frac{dz}{z}=-2 ∫ \frac{dx}{x}[/m] ⇒ [m]ln|z|=-2ln|x|[/m] ⇒ [m]ln|z|=ln|x|^{-2}+lnC[/m] ⇒ [m]z=\frac{C}{x^2}[/m]
Решаем неоднородное
[m]z`+\frac{2}{x}z=x^2[/m]
Применяем[i] метод вариации[/i] произвольной постоянной
[m]z=\frac{C(x)}{x^2}[/m]
Находим
[m]z`=\frac{C`(x)\cdot x^2-C(x)\cdot 2x}{x^4}[/m]
Подставляем в неоднородное уравнение и находим С
[m]\frac{C`(x)\cdot x^2-C(x)\cdot 2x}{x^4}+\frac{2}{x}\cdot\frac{C(x)}{x^2}=x^2[/m]
[m]\frac{C`(x)}{x^2}-\frac{2}{x}\cdot\frac{C(x)}{x^2}+\frac{2}{x}\cdot\frac{C(x)}{x^2}=x^2[/m] ⇒
[m]C`(x)=x^4[/m]
[m]C(x)=\frac{x^5}{5}+C_(1)[/m]
⇒
[m]z=\frac{\frac{x^5}{5}+C_(1)}{x^2}[/m]
[red]Обратная замена[/red]
[m]y`=\frac{\frac{x^5}{5}+C_(1)}{x^2}[/m]
[m]y= ∫ \frac{\frac{x^5}{5}+C_(1)}{x^2}dx[/m]
[m]y= ∫ (\frac{x^3}{5}+\frac{C_(1)}{x^2})dx[/m]
[m]y= \frac{x^4}{20}-\frac{2C_(1)}{x}+C_(2)[/m]- общее решение данного неоднородного уравнения второго порядка
2)
[m]y``-(2\cdot tgx)\cdot y`=sinx[/m]
Это неоднородное уравнение второго порядка
Применяем метод понижения степени
Пусть
[m] y`=z[/m]
тогда
[m] y``=z`[/m]
[m]z`-(2tgx)\cdot z=sinx[/m]
Решаем однородное
[m]z`-(2tgx)\cdot z=0[/m] - это уравнение с разделяющимися переменными
[m]z`=\frac{dz}{dx}[/m]
[m]\frac{dz}{dx}=(2tgx)\cdot z[/m] ⇒ [m]\frac{dz}{z}=2tgx dx[/m]
Интегрируем
[m] ∫ \frac{dz}{z}=2 ∫ tgxdx[/m] ⇒ [m]ln|z|=-2ln|cosx|+lnC[/m] ⇒ [m]ln|z|=ln|cosx|^{-2}+lnC[/m] ⇒ [m]z=\frac{C}{cos^2x}[/m]
Применяем[i] метод вариации[/i] произвольной постоянной
[m]z=\frac{C(x)}{cos^2x}[/m]
Находим
[m]z`=\frac{C`(x)\cdot cos^2x-C(x)\cdot 2cosx\cdot (cosx)`}{cos^4x}[/m]
Подставляем в неоднородное уравнение и находим С