Задача 67649 составить уравнение плоскости, которая...
Условие
Решение
[m]Ax+By+Cz=0[/m]
[m]\vec{n}=(A;B;C)[/m]
Плоскость [m]Ax+By+Cz=0[/m] [b]перпендикулярна[/b] плоскости
5x–2y+5z+3=0 c нормальным вектором [m]\vec{n_{1}}=(5;-2;5)[/m]
⇒ [m]\vec{n} ⊥\vec{n_{1}}[/m]
Значит скалярное произведение этих векторов равно 0
[m]\vec{n} \cdot \vec{n_{1}}=A\cdot 5+B\cdot (-2)+C\cdot 5[/m]
Получаем уравнение:
[m]A\cdot 5+B\cdot (-2)+C\cdot 5=0[/m]
Плоскость [m]Ax+By+Cz=0[/m] образует с плоскостью x – 4y – 8z + 7 = 0 угол 45
Плоскость x – 4y – 8z + 7 = 0 с нормальным вектором [m]\vec{n_{2}}=(1;-4;-8)[/m]
⇒ [m] ∠( \vec{n} ,\vec{n_{1}})=45 ° [/m]
[m]|\vec{n_{1}}|=\sqrt{1^2+(-4)^2+(-8)^2}=\sqrt{9}=3[/m]
[m]cos45 ° =\frac{\vec{n} \cdot \vec{n_{1}}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{n_{1}}| }[/m] ⇒
[m]\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{A\cdot 1+B\cdot (-4)+C\cdot (-8)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot 3 }[/m] ⇒
Получаем второе уравнение
[m]3\sqrt{2}\cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2}=2\cdot (A\cdot 1-4B-8C)[/m]
[m]3\cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2}=\sqrt{2}\cdot (A\cdot 1-4B-8C)[/m]
Решаем систему уравнений:
{[m]A\cdot 5+B\cdot (-2)+C\cdot 5=0[/m] ⇒ -2B=-5A-5C ⇒ -4B=-10A-10C и подставляем во второе:
{[m]3\cdot \sqrt{A^2+(2,5A+2,5C)^2+C^2}=\sqrt{2}\cdot (A-10A-10C-8C)[/m]
Решаем второе:
[m]3\cdot \sqrt{A^2+6,25A^2+12,5AC+6,25C^2+C^2}=-9\sqrt{2}\cdot (A+2C)[/m]
Возводим в квадрат
[m]9\cdot (7,25A^2+12,5AC+7,25C^2)=162(A^2+4AC+4C^2)[/m]
[m]7,25A^2+12,5AC+7,25C^2=18A^2+72AC+72C^2[/m] ⇒
[m]10,75A^2+59,5\cdot AC+64,75C^2=0[/m] уравнение сводящееся к квадратному
Делим на С^2
[m]10,75(\frac{A}{C})^2+59,5\frac{A}{C}+64,75=0[/m]
D=59,5^2-4*10,75*64,75=3540,25-2784,25=756
и найдем
A/C=
или
A/C=