Задача 67646 Решите уравнение:...

6393e228da13574722e5a94f

18.12.2022 04:35:33

Решите уравнение: (4cos^2x-1)sqrt(tgx)=0.Найдите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу(0;2п)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

18.12.2022 09:15:04

★

[red]ОДЗ[/red]: tgx ≥ 0 ⇒ 0+πk ≤ x<(π/2)+πk, k ∈[b] Z[/b]


[m]4cos^2x-1=0 [/m] [b]или[/b] [m]\sqrt{tgx}=0[/m]


[b][i]Решаем первое уравнение[/i]
[/b]
[m]4cos^2x-1=0 [/m] ⇒ [m]cos^2x=\frac{1}{4} [/m] ⇒ [m]cosx= ± \frac{1}{2} [/m]

⇒
[m]cosx= \frac{1}{2} [/m] ⇒ [m]x= ± \frac{π}{3}+2πn, n ∈ [/m][b] Z[/b]

или

[m]cosx=- \frac{1}{2} [/m] ⇒ [m]x= ± \frac{2π}{3}+2πm, m ∈ [/m][b] Z[/b]

Так как

[m]x= - \frac{π}{3}+2πn, n ∈ [/m][b] Z[/b] и [m]x= \frac{2π}{3}+2πm, m ∈ [/m][b] Z[/b]

не принадлежат ОДЗ, то корни первого уравнения:

[m]x= \frac{π}{3}+2πn, n ∈ [/m][b] Z[/b] или [m]x= - \frac{2π}{3}+2πm, m ∈ [/m][b] Z[/b]


[b][i]Решаем второе уравнение:[/i][/b]

[m]\sqrt{tgx}=0[/m] ⇒[m]tgx=0[/m] ⇒ [m]x=πk, k∈[/m][b] Z[/b]

О т в е т.
a)[m] \frac{π}{3}+2πn, n ∈ [/m][b] Z[/b] ;[m] - \frac{2π}{3}+2πm, m ∈ [/m][b] Z[/b] ;[m] πk, k∈[/m][b] Z[/b]


б)

Интервалу (0;2π) принадлежат корни
[m] \frac{π}{3} [/m] ;[m] - \frac{2π}{3}+2π=\frac{4π}{3} [/m] ;[m] π[/m]