Задача 67640 Найти решение задачи Коши (частное...

639c990418d0651c720942a8

17.12.2022 21:30:12

Найти решение задачи Коши (частное решение) линейного д.у. первого порядка:

5f3ea7e3faf909182968ddd9

17.12.2022 22:55:04

★

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка вида:

y`+p(x)*y=q(x)

p(x)=2/х

q(x)=1/x^2


Решение y находим в виде произведения u*v

y=u·v

Находим
y`=u`·v+u·v`

Подставляем в уравнение:
u`·v+u·v`+(2/x)u·v=1/x^2

Группируем:

u`·v+u(v`+(2/х)v)=1/x^2

Выбираем функцию v так,чтобы выражение в скобках равнялось нулю

(это можно сделать так как функции u и v - произвольные)



1)v`+(2/х)v=0 Решаем уравнение с разделяющимися переменными

Так как v`=dv/dx

dv/dx=-2v/x

dv/v=-2dc/x

Интегрируем:

∫ dv/v=-2∫dx/x

ln|v|=-2ln|x|

v=1/x^2



2)u`·v=1/x^2

v=1/x^2

u`·=1

u=x+C


Тогда
y=u*v

[b]y=(х + C)*(1/x^2) [/b] - общее решение дифференциального уравнения


Решаем задачу Коши

x_(o)=1;
y_(o)=1

y=(х + C)*(1/x^2)

y_(o)=(х_(o) + C)*(1/x^2_(o))

1=(1+C)/1

C=0

Тогда
y=(х + 0)*(1/x^2) - решение, удовлетворяющее начальному условию

[b]y=1/x[/b]

О т в е т.
y=(х + C)*(1/x^2) - общее решение дифференциального уравнения

y=1/x- решение, удовлетворяющее начальному условию