Задача 67625 Вычислить двойной интеграл, изобразив...

639c990418d0651c720942a8

16.12.2022 19:56:10

Вычислить двойной интеграл, изобразив область D

5f3ea7e3faf909182968ddd9

17.12.2022 09:03:12

★

D: четверть круга во второй четверти

Вводим полярные координаты

x= ρ cos θ
y= ρ sin θ

⇒

x^2+y^2=(ρ cos θ)^2 +(ρ sin θ)^2= ρ ^2(cos^2 θ +sin^2 θ )= ρ ^2*1= ρ ^2
x^2+y^2=9 ⇒
ρ ^2=9
ρ =3

0 ≤ ρ ≤ 3
π/2 ≤ θ ≤ π

dxdy= ρ d ρ d θ

∫ ∫ [blue]x[/blue]y[b]dxdy[/b]= ∫ ∫ [blue] ρ cos θ [/blue] ρ sin θ [b]ρ d ρ d θ [/b]= ∫_(0)^(3) ( ρ^3*∫_(π/2)^(π) cos θ sin θ d θ )d ρ =


= ∫_(0)^(3) [b]([/b] ρ^3(cos^2 θ /2)|_(π/2)^(π)[b])[/b] d ρ = ∫_(0)^(3) [b]([/b] ρ^3(1/2)(cos^2 π-cos^2(π/2)[b])[/b] d ρ =

=(1/2)*( ρ ^4/4)|_(0)^(3)=3^4/8=[b]81/8[/b]