Задача 67602 Дана точка А(0,-1,-2), плоскость П1:...
Условие
Решение
П_(2): 2x–2y+4z=0 - общее уравнение плоскости с нормальным вектором vector{n_(2)}=(2;-2;4)
Найдем проекцию точки А(0,–1,–2) на плоскость П_(1)
Составляем уравнение прямой, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через точку А
Это значит, что направляющим вектором прямой является нормальный вектор плоскости П_(1)
vector{n_(1)}=(3;2;1)
(x–0)/(3)=(y–(-1))/2=(z–(-2))/1
Запишем это уравнение в параметрическом виде:
(x–0)/(3)=(y+1)/2=(z+2)/1 =t
x=3t
y=2t-1
z=t-2
Найдем точку пересечения прямой и плоскости
Подставляем параметрические уравнения прямой
в уравнение плоскости П_(1): 3x+2y+z=0
3·(3t) +2 ( 2t -1) + (t-2) = 0
14t-4=0
t= 2/7
При t=2/7
x= 3·(2/7)= 6/7
y=2t-1=2*(2/7)-1=-3/7
z=t-2=(2/7)-2=-12/7
A_(1) (6/7;-3/7;-12/7) – проекция точки A на плоскость П_(1)
Найдем проекцию точки А(0,–1,–2) на плоскость П_(2)
Составляем уравнение прямой, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через точку А
Это значит, что направляющим вектором прямой является нормальный вектор плоскости П_(2)
vector{n_(2)}=(2;-2;4)
(x–0)/2=(y–(-1))/(-2)=(z–(-2))/4
Запишем это уравнение в параметрическом виде:
x/2=(y+1)/(-2)=(z+2)/4 =t
x=2t
y=-2t-1
z=4t-2
Найдем точку пересечения прямой и плоскости
Подставляем параметрические уравнения прямой
в уравнение плоскости П_(2): 2x–2y+4z=0
2·(2t) +(-2) ( -2t -1) + 4(4t-2) = 0
24t-6=0
t= 1/4
При t=1/4
x= 2·(1/4)= 1/2
y=-2t-1=2*(1/4)-1=1/2
z=4t-2=4(1/4)-2=-1
A_(2) (1/2;1/2;-1) – проекция точки A на плоскость П_(2)
Найдем скалярное произведение векторов:
vector{AA_(1)}=(6/7-0;-3/7-(-1);-12/7-(-2))=(6/7; 4/7;2/7
vector{AA_(2)}=((1/2)-0;(1/2)-(-1);-1-(-2))=(1/2; 3/2; 1)
vector{AA_(1)}*vector{AA_(2)}=(6/7)*(1/2)+(4/7)*(3/2)+(2/7)*1 >0
⇒
cos ∠ (vector{AA_(1)},vector{AA_(2)}) >0
⇒ угол между векторами острый ⇒ угол между плоскостями - тупой
О т в е т . Тупому углу
