Задача 67598 Найти площадь фигуры, ограниченной...
Условие
Решение
Точки пересечения графиков:
8e^x = 3; x = ln(3/8); y = 3
[b]E(ln(3/8); 3)[/b]
8e^x = 8; x = 0; y = 8
[b]C(0; 8)[/b]
3/x = 8; x = 3/8; y = 8
[b]A(3/8; 8)[/b]
3/x = 3; x = 1; y = 3
[b]F(1; 3)[/b]
Отрезки AB и CD проведены для разделения на области интегрирования.
Заметим, что области под прямой y = 3 нужно вычесть из интегралов.
Площадь:
[m]S = \int_{ln(3/8)}^0 (8e^x - 3) dx + \int_0^{3/8} (8 - 3) dx + \int_{3/8}^1 (\frac{3}{x} - 3) dx = [/m]
[m]= (8e^x - 3x)|_{ln(3/8)}^0 + \frac{3}{8} \cdot 5 + (3ln(x) - 3x)|_{3/8}^1 = [/m]
[m]= 8 \cdot e^0 - 3 \cdot 0 - 8 \cdot \frac{3}{8} + 3ln(\frac{3}{8}) + \frac{15}{8} + 3ln(1) - 3 \cdot 1 - 3ln(\frac{3}{8}) + 3 \cdot \frac{3}{8} = [/m]
[m] = 8 - 3 + 3ln(\frac{3}{8}) + \frac{15}{8} + 0 - 3 - 3ln(\frac{3}{8}) + \frac{9}{8} = 2 + \frac{24}{8} = 5[/m]
[b]Ответ: S = 5[/b]