Задача 67592 Для однородной системы найти...

639a52553a4b926a4c9a7ab0

15.12.2022 18:11:16

Для однородной системы найти фундаментальную систему решений
Заранее благодарю Вас за помощь ????

626fab9a354ab65fb2f43abb

15.12.2022 20:41:44

★

{ 3x1 + 5x2 + 2x3 - 2x4 = 0
{ x1 + x2 - 4x3 - 3x4 = 0
{ 5x1 + 7x2 - 6x3 + 4x4 = 0
{ 2x1 + 4x2 + 6x3 - 5x4 = 0
Такую систему надо решать методом Гаусса.
Расположим уравнения в другом порядке:
{ x1 + x2 - 4x3 - 3x4 = 0
{ 2x1 + 4x2 + 6x3 - 5x4 = 0
{ 3x1 + 5x2 + 2x3 - 2x4 = 0
{ 5x1 + 7x2 - 6x3 + 4x4 = 0
Умножаем 1 уравнение на -2 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -3 и складываем с 3 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -5 и складываем с 4 уравнением.
{ x1 + x2 - 4x3 - 3x4 = 0
{ 0x1 + 2x2 + 14x3 + x4 = 0
{ 0x1 + 2x2 + 14x3 + 7x4 = 0
{ 0x1 + 2x2 + 14x3 + 19x4 = 0
Умножаем 2 уравнение на -1 и складываем с 3 уравнением.
Умножаем 2 уравнение на -1 и складываем с 4 уравнением.
{ x1 + x2 - 4x3 - 3x4 = 0
{ 0x1 + 2x2 + 14x3 + x4 = 0
{ 0x1 + 0x2 + 0x3 + 6x4 = 0
{ 0x1 + 0x2 + 0x3 + 18x4 = 0
Делим 3 уравнение на 6, а 4 уравнение на 18:
{ x1 + x2 - 4x3 - 3x4 = 0
{ 0x1 + 2x2 + 14x3 + x4 = 0
{ 0x1 + 0x2 + 0x3 + x4 = 0
{ 0x1 + 0x2 + 0x3 + x4 = 0
3 и 4 уравнения одинаковы, поэтому одно можно убрать.
Таким образом, ранг этой системы равен 3.
Из 3 уравнения x4 = 0. Получаем систему из 2 уравнений с 3 неизвестными:
{ x1 + x2 - 4x3 = 0
{ 0x1 + 2x2 + 14x3 = 0
Из 2 уравнения:
2(x2 + 7x3) = 0
x2 = -7x3
Подставляем в 1 уравнение:
x1 - 7x3 - 4x3 = 0
x1 = 11x3
Фундаментальное решение системы:
x1 = 11x3; x2 = -7x3; x3 - свободная переменная, x4 = 0