Задача 67576 В треугольнике АВС даны точка С (2,2),...

639203c85753a136e910b1d7

14.12.2022 17:51:17

В треугольнике АВС даны точка С (2,2), уравнение высоты Вh: x+y+4=0, медианы Bm: x–3y=0. Найти
уравнения сторон треугольника.

626fab9a354ab65fb2f43abb

15.12.2022 17:00:13

★

Дано: C(2; 2). Высота BH : x + y + 4 = 0. Медиана BM : x - 3y = 0
Найти уравнения сторон треугольника.
Решение:
Найдём координаты точки B как пересечения высоты BH и медианы BM:
{ x + y + 4 = 0
{ x - 3y = 0
Решаем подстановкой:
{ x = 3y
{ 3y + y + 4 = 0
4y + 4 = 0
y = -1
x = 3y = 3(-1) = -3
Точка B(-3; -1)

Уравнение стороны BC по двум точкам:
(x + 3)/(2 + 3) = (y + 1)/(2 + 1)
(x + 3)/5 = (y + 1)/3
3(x + 3) = 5(y + 1)
3x + 9 = 5y + 5
[b](BC) : 3x - 5y + 4 = 0[/b]

Сторона AC проходит через C(2; 2) и перпендикулярна к BH. Её уравнение:
(x - 2) - (y - 2) = 0
x - 2 - y + 2 = 0
[b](AC) : x - y = 0[/b]

Точка пересечения AC и BM - это точка M:
{ x - y = 0
{ x - 3y = 0
Решаем подстановкой:
{ x = y
{ y - 3y = 0
- 2y = 0
y = 0
x = y = 0
M(0; 0)

Координаты точки M - это среднее арифметическое координат точек A и C.
Так можно вычислить координаты точки А.
{ x(M) = (x(A) + x(C))/2
{ y(M) = (y(A) + y(C))/2
Подставляем:
{ 0 = (x(A) + 2)/2
{ 0 = (y(A) + 2)/2
Решаем:
{ x(A) = 0 - 2 = -2
{ y(A) = 0 - 2 = -2
A(-2; -2)

Уравнение стороны AB по двум точкам:
(x + 3)/(-2 + 3) = (y + 1)/(-2 + 1)
(x + 3)/1 = (y + 1)/(-1)
-(x + 3) = y + 1
[b](AB) : x + y + 4 = 0[/b]
Как видим, уравнение стороны AB совпадает с уравнением высоты BH.
Это значит, что точка A = H, и треугольник - прямоугольный.
Треугольник построен на рисунке.