Задача 67538 составить уравнение плоскости...
Условие
две пересекающиеся прямые
x -1/2=y+3/3=z+2/2 и x-1/4=y+3/2=z-2/3
Решение
(x-1)/2 = (y+3)/3 = (z+2)/2
(x-1)/4 = (y+3)/2 = (z-2)/3
Нужно построить уравнение плоскости по этим прямым.
Сначала найдём точку пересечения прямых.
Для этого представим каждую прямую в параметрическом виде:
(x-1)/2 = (y+3)/3 = (z+2)/2 = m
(x-1)/4 = (y+3)/2 = (z-2)/3 = n
Получаем две системы:
{ x = 2m + 1
{ y = 3m - 3
{ z = 2m - 2
{ x = 4n + 1
{ y = 2n - 3
{ z = 3n + 2
Нам нужно из каждой системы подобрать такие коэффициенты, чтобы параметры m и n обратились в 0.
Причем двумя разными способами, чтобы получить два уравнения плоскостей.
Из 1 системы можно подобрать такие коэффициенты:
1) 1(2m+1) - 2(3m-3) + 2(2m-2) = 2m+1-6m+6+4m-4 = 3
[b]x - 2y + 2z = 3[/b]
2) 3(2m+1) - 2(3m-3) + 0(2m-2) = 6m+3-6m+6+0 = 9
[b]3x - 2y = 9[/b]
Из 2 системы можно подобрать такие коэффициенты:
1) 3(4n+1) - 3(2n-3) - 2(3n+2) = 12n+3-6n+9-6n-4 = 8
[b]3x - 3y - 2z = 8[/b]
2) 1(4n+1) - 2(2n-3) + 0(3n+2) = 4n+1-4n+6+0 = 7
[b]x - 2y = 7[/b]
Получили 4 уравнения, из которых нужно найти 3 неизвестных.
{ x - 2y + 2z = 3
{ 3x - 2y = 9
{ 3x - 3y - 2z = 8
{ x - 2y = 7
Умножаем 4 уравнение на - 1 и складываем со 2 уравнением:
3x - 2y - x + 2y = 9 - 7
2x = 2
x = 1
2y = 3x - 9 = 3 - 9 = - 6
y = - 3
Подставляем в 1 и в 3 уравнения.
{ 1 - 2(-3) + 2z = 3
{ 3*1 - 3(-3) - 2z = 8
Решаем:
{ 2z = 3 - 7 = - 4
{ - 2z = 8 - 12 = - 4
Получаем:
{ z = - 2
{ z = 2
Получились разные z, значит, система несовместна, прямые не пересекаются.
Уравнение плоскости через них построить нельзя.
Но я думаю, что в задаче просто опечатка.
Должно быть, прямые выглядят так:
(x-1)/2 = (y+3)/3 = (z+2)/2
(x-1)/4 = (y+3)/2 = (z+2)/3
В этом случае всё просто. Точка пересечения:
А(1; - 3; - 2)
Уравнение плоскости:
[m] \begin{vmatrix}
x-1 & y+3 & z+2 \\
2 & 3 & 2 \\
4 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix} =0 [/m]
Раскрываем определитель:
(x-1)*3*3 + (y+3)*2*4 + (z+2)*2*2 - (x-1)*2*2 - (y+3)*2*3 - (z+2)*3*4 = 0
(x-1)(9-4) + (y+3)(8-6) + (z+2)(4-12) = 0
5(x-1) + 2(y+3) - 8(z+2) = 0
5x + 2y - 8z - 5 + 6 - 16 = 0
[b]5x + 2y - 8z - 15 = 0[/b]