Задача 67503 Составить каноническое уравнение прямой...
Условие
x+2y-2z+1=0
2x-y+3z-3=0
Решение
{ 2x – y + 3z – 3 = 0
Нам нужно найти две точки, принадлежащие прямой.
Умножим 2 уравнение на 2:
{ x + 2y – 2z + 1 = 0
{ 4x – 2y + 6z – 6 = 0
Складываем уравнения:
5x + 4z - 5 = 0
1) Например, к этому уравнение подходят x = 1, z = 0.
Подставляем их в любое уравнение плоскости:
2*1 - y + 3*0 - 3 = 0
2 - 3 = y
y = - 1.
Первая точка: A(1; - 1; 0)
2) Также подходят x = - 3, z = 5
Подставляем на всякий случай в другое уравнение плоскости:
-3 + 2y - 2*5 + 1 = 0
2y - 3 - 10 + 1 = 0
2y = 12
y = 6
Вторая точка: B(-3; 6; 5)
Строим уравнение прямой по двум точкам:
(x - 1)/(-3 - 1) = (y + 1)/(6 + 1) = (z - 0)/(5 - 0)
И получаем каноническое уравнение:
(x - 1)/(-4) = (y + 1)/7 = z/5
Все решения
2x–y+3z–3=0 ⇒ vector{n_(2)}=(2;-1;3)
vector{q}=vector{n_(1)} × vector{n_(2)}- направляющий вектор прямой
vector{q}=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&-2\\2&-1&3\end {vmatrix}=6\vec{i}-4\vec{j}-\vec{k}-4\vec{k}-2\vec{i}-3\vec{j}=4\vec{i}-7\vec{j}-5\vec{k}[/m]
vector{q}=(4;-7;-5)
Найдем точку, принадлежащую прямой. Таких точек бесчисленное множество.
Пусть, третья координата
z=0
Тогда из системы уравнений находим две другие координаты
{x+2y–2*0+1=0 ⇒ x=-2y-1 и подставляем во второе
{2x–y+3*0–3=0
2*(-2y-1)-y-3=0
M_(o)(1; – 1; 0)
[m]\frac{x-1}{4}=\frac{y-(-1)}{-7}=\frac{z-0}{-5}[/m]