Задача 67458 В треугольнике ABC найти точку...

639203c85753a136e910b1d7

08.12.2022 21:18:28

В треугольнике ABC найти точку пересечения высот, если A(2,1,1), B(-1,2,0), C(2,3,0).

5f3ea7e3faf909182968ddd9

08.12.2022 22:04:50

★

Составляем уравнение плоскости, перпендикулярной стороне ВС и проходящей через точку А

Составляем уравнение стороны ВС:

[m]\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{0}[/m] - каноническое уравнение прямой BC с направляющим вектором

vector{q_(1)}=(3;2;0)

Для плоскости, перпендикулярной прямой BC этот вектор становится нормальным вектором

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку А с заданным нормальным вектором vector{q}=(3;2;0)
3*(x-2)+2*(y-1)+0*(z-1)=0
[b]3x+2y-8=0[/b]


Составляем уравнение стороны AС:

[m]\frac{x-2}{2-2}=\frac{y-1}{3-1}=\frac{z-1}{0-1}[/m] - каноническое уравнение прямой BC с направляющим вектором

vector{q_(2)}=(0;2;-1)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку B с заданным нормальным вектором vector{q_(2)}=(3;2;0)
0*(x+1)+2*(y-2)+(-1)*(z-0)=0
[b]2y-z-4=0[/b]


Составляем уравнение стороны AB:

[m]\frac{x-2}{-1-2}=\frac{y-1}{2-1}=\frac{z-1}{0-1}[/m] - каноническое уравнение прямой AB с направляющим вектором

vector{q_(3)}=(-3;1;-1)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку B с заданным нормальным вектором vector{q_(2)}=(3;2;0)
-3*(x-2)+(y-3)+(-1)*(z-0)=0
[b]-3x+y-z+3=0[/b]

Находим точку пересечения плоскостей:
{[b]3x+2y-8=0[/b] ⇒ x=(8-2y)/3
{b]2y-z-4=0[/b] ⇒ z=2y-4
{[b]-3x+y-z+3=0[/b] ⇒ (-3)*((8-2y)/3 + y - (2y-4)+3=0

-8+2y+y-2y+4+3=0

y=1

x=(8-2y)/3=(8-2*1)/3=2

z=2y-4=2*1-4=-2


О т в е т. [b](2;1;-2)[/b]