Задача 67419 Составить уравнение плоскости,...

6390d07eba588063934fa662

07.12.2022 20:45:23

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую (на фото) параллельно вектору (на фото). Найти расстояние от точки P(0; 1; -2) до этой плоскости .

5f3ea7e3faf909182968ddd9

07.12.2022 22:37:38

★

Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей
3x-2y-z-3=0 ⇒ нормальный вектор прямой vector{n_(1)}=(3;-2;-1)
-x+3y-2z+5=0 ⇒ нормальный вектор прямой vector{n-(2)}=(-1;3;-2)

Тогда

vector{q}=vector{n_(1)} × vector{n_(2)}- направляющий вектор прямой.

vector{q}=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&-2&-1\\-1&3&-2\end {vmatrix}=4\vec{i}+\vec{j}+9\vec{k}-2\vec{k}+3\vec{i}+6\vec{j}=7\vec{i}+7\vec{j}+7\vec{k}[/m]
vector{q}=(7;7;7)

Найдем одну общую точку - точку пересечения плоскостей

Таких точек - бесчисленное множество

Пусть абсцисса точки
х=0
тогда из системы:[m]\left\{\begin {matrix}3\cdot 0-2y-z-3=0\\-0+3y-2z+5=0 \end {matrix}\right.[/m]

умножаем первое уравнение на(- 2)

[m]\left\{\begin {matrix}4y+2z+6=0\\3y-2z+5=0 \end {matrix}\right.[/m]


и складываем

координату

7y=-11

y=-11/7
и координату

z=-2y-3

z=1/7

M_(o)(0;-11/7; 1/7)


Пусть M(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости

Тогда векторы
vector{M_(o)M}=(x-0; y+(11/7); z-(1/7)}

vector{q}==(7;7;7)

и

vector{a}=(7;9;17)

КОМПЛАНАРНЫ


условие компланарности трех векторов - равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов

[m]\begin {vmatrix} x&y+\frac{11}{7}&z-\frac{1}{7}\\3&-2&-1\\-1&3&-2\end {vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель по правилу треугольника

[m]4x+(y+\frac{11}{7})+9(z-\frac{1}{7})-2((z-\frac{1}{7})+3x+6(y+\frac{11}{7})=0[/m]
и получаем ответ
[m]7x+7y+7z+10=0[/m]

[m]d=\frac{|7\cdot 0+7\cdot 1+7\cdot (-2)+10|}{\sqrt{7^2+7^2+7^2}}=\frac{3}{7\sqrt{3}=\sqrt{\frac{3}{7}}[/m]