Задача 67413 ...
Условие
y = ∛ 2(2x-1)^2(x-4) , x ∈ [0, 4]
Решение
Находим значения на концах отрезка:
[m]y(0) = \sqrt[3]{2(0-1)^2(0-4)} = \sqrt[3]{2 \cdot 1^2 \cdot (-4)} = \sqrt[3]{-8} = -2[/m]
[m]y(4) = \sqrt[3]{2(4-1)^2(4-4)} = \sqrt[3]{2 \cdot 3^2 \cdot 0} = 0[/m]
Теперь ищем экстремум, в котором производная равна 0.
[m]y' = \frac{1}{3}(2(x-1)^2(x-4))^{-2/3} \cdot (2 \cdot 2(x-1)(x-4) + 2(x-1)^2) = 0[/m]
Приводим к одной дроби:
[m]\frac{1}{3}\frac{4(x^2-5x+4) + 2(x^2-2x+1)}{(2(x-1)^2(x-4))^{2/3}} = 0[/m]
Область определения: x ≠ 1; x ≠ 4.
Сокращаем дробь 1/3, она не имеет значения:
[m]\frac{4x^2-20x+16 + 2x^2-4x+2}{(2(x-1)^2(x-4))^{2/3}} = 0[/m]
Приводим подобные:
[m]\frac{6x^2-24x+18}{(2(x-1)^2(x-4))^{2/3}} = 0[/m]
Делим на 6:
[m]\frac{x^2-4x+3}{(2(x-1)^2(x-4))^{2/3}} = 0[/m]
Если дробь = 0, то ее числитель = 0. а знаменатель нет.
x^2 - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
По области определения: x ≠ 1; x ≠ 4
Экстремум: x = 3;
[m]y(3) = \sqrt[3]{2(3-1)^2(3-4)} = \sqrt[3]{2 \cdot 2^2 \cdot (-1)}= \sqrt[3]{-8} = -2[/m] - минимум.
Заметим, что y(1) = 0, так же, как y(4), но производная в точке
x = 1 не существует.
Ответ: Наибольшее значение y(4) = 0