Задача 67409 Установить, какие именно кривые второго...

63907cf31f76df470f8bf767

07.12.2022 15:28:43

Установить, какие именно кривые второго порядка (или их части) соответствуют данным уравнениям, сделать чертеж. Указать для эллипса или гиперболы центр
С(x0; y0) и величины полуосей a и b, или вершину
A(x0; y0) и параметр p параболы.
Задание на скрине ниже

5f3ea7e3faf909182968ddd9

07.12.2022 16:34:03

★

1.
Группируем переменные

(9x^2-18x)+(16y^2-64y)-71=0

9*(x^2-2x)+16*(y^2-4y)-71=0

Выделяем полные квадраты

9*(x^2-2x[red]+1[/red]-1)+16*(y^2-4y[red]+4[/red]-4)-71=0

9*(x-1)^2-9+16*(y-2)^2-64-71=0

9*(x-1)^2+16*(y-2)^2=144

Делим на 144

(x-1)^2/16 + (y-2)^2/9 = 1

Это каноническое уравнение эллипса со смещенным центром

C(1;2)- центр эллипса

a^2=16
a=4- большая полуось
b^2=9
b=3 - малая полуось

a^2=b^2+c^2

c^2=a^2-b^2=16-9=7

c=sqrt(7)

Эллипс - фигура, которая описана около прямоугольника со сторонами 2a=8 и 2b=6

2.

y-1=-2sqrt(x^2+4x)

Возводим в квадрат

(y-1)^2=(-2sqrt(x^2+4x)^2

(y-1)^2=4*(x^2+4x)

Выделяем полный квадрат

(y-1)^2=4*(x^2+4x[red]+4[/red]-4)

(y-1)^2=4*(x+2)^2-16


4*(x+2)^2-(y-1)^2=16


Делим на 16

(x+2)^2/4 - (y-1)^2/16 = 1 - каноническое уравнение гиперболы со смещенным центром


C(-2;1)

a^2=4

a=2- действительная полуось

b=4 - мнимая полуось


y-1=-2sqrt(x^2+4x) - часть гиперболы, расположенная ниже прямой y=1


Прямоугольник со сторонами 2a=4 и 2b=8

помогает построить асимптоты гиперболы.

Диагонали этого прямоугольника - и есть асимптоты