Задача 67404 ...

5f6a2444b931bd71f10f3620

07.12.2022 13:10:19

№175.Найдите первообразную для функции f(x)=sqrt(x)+2∛x, график которой проходит через точку M(1;1,5).
№176.Вычислите определенный интеграл:

5f3ea7e3faf909182968ddd9

07.12.2022 13:31:25

★

176(3)

[m] ∫ _{\frac{1}{2}}^{1}\sqrt[4]{2x-1}dx= ∫ _{\frac{1}{2}}^{1}(2x-1)^{\frac{1}{4}}dx=[/m]

[m]d(2x-1)=(2x-1)`dx=2xdx[/m] ⇒ [m]dx=\frac{1}{2}d(2x-1)[/m]

Применяем формулу первообразной для f(u)=u^(p)

u=2x-1
F(u)=\frac{u^{p+1}}{p+1}+C


p=1/4

[m]=\frac{1}{2} ∫ _{\frac{1}{2}}^{1}(2x-1)^{\frac{1}{4}}d(2x-1)=\frac{1}{2}\frac{(2x-1)^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1}| _{\frac{1}{2}}^{1}=[/m]

=


1.

F(x)=[m]\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+2\cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}+C[/m]

F(x)=[m]\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+2\cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C[/m]

F(x)=[m]\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}+2\cdot \frac{3}{4}\cdot x^{\frac{4}{3}}+C[/m]


F(x)=[m]\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{4}{3}}+C[/m]
Подставляем координаты точки М ( 1; 1,5)

x=1

y=1,5 ⇒ F(x)=1,5

[m]1,5=\frac{2}{3}\cdot 1^{\frac{3}{2}}+2\cdot \frac{3}{4}\cdot 1^{\frac{4}{3}}+C[/m]

[m]1,5=\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+C[/m]


[m]C=-\frac{2}{3}[/m]


О т в е т. F(x)=[m]\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}+frac{3}{2}\cdot x^{\frac{4}{3}}-\frac{2}{3}[/m]