Задача 67384 - Составить уравнение эллипса, если...

638df4f6511dc05292359aeb

06.12.2022 16:21:04

- Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет, фокус и уравнение соответствующей директрисы. Представить уравнение в виде F(x, y) = 0, где F(x, y) — многочлен второй степени от x, y.
[b]1/sqrt(2), (1,-2), x-y+3=0[/b]

- Записать уравнение параболы считая за фокус и директрису точку и прямую. Построить полученные кривые

5f3ea7e3faf909182968ddd9

06.12.2022 16:35:53

★

x–y+3=0 - уравнение директрисы

Фокус на прямой ей перпендикулярной.

y=-x+b - уравнение прямой, на которой лежат фокусы.

Подставляем координаты точки F(1;-2)

-2=-1+b ⇒ b=-1

y=-x-1 -[b] уравнение линии фокусов[/b]

Пусть
O- центр эллипса
ОА=a
OF=c

По условию

эксцентриситет эллипса
ε =1/√2

эксцентриситет эллипса
ε =с/a

с/a=1/√2

[b]a=√2*c[/b]

Так как для эллипса

a^2=b^2+c^2

2c^2=b^2+c^2

b^2=c^2

[b]b=c[/b]


OA-OF=a-c

OD- расстояние от центра эллипса до директрисы

равно a/ ε = [b]a^2/c[/b]


Значит

FD=OD-OF=(a^2/c)-c=(a^2-c^2)/c=(2c^2-c^2)/c=c

FD найдем по формуле расстояния от точки F до директрисы x-y+3=0


FD=[m]\frac{|1-(-2)+3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=3\sqrt{2}[/m]

[m]c=3\sqrt{2}[/m]

[b]a=√2*c=6[/b]

[m]b=3\sqrt{2}[/m]


O(x_(o); y_(o))

O ∈ прямой y=-x-1 -[b] уравнение линии фокусов[/b]

O(x_(o); -x_(o)-1)

OF^2=x^2_(o)+(-x_(o)-1)^2

OF^2=c^2

x^2_(o)+(-x_(o)-1)^2=[m](3\sqrt{2})^2[/m]

⇒
2x^2_(o)+2x_(o)-17=0


x_(o)=-1 - sqrt(35) или x_(o)=-1 +sqrt(35)

y_(o)=sqrt(35) или y_(o)=-sqrt(35)

Первый ответ не удовлетворяет положению директрисы и фокуса



[b]Kоординаты точки O[/b] (-1+sqrt(35); -sqrt(35))


Но эллипс не только со смещенным центром, он еще с поворотом...


Надо применить поворот осей координат