Задача 67380 Исследование функции и построение ее...
Условие
Решение
x+1 > 0
x > -1
(-1;+∞)
2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
область определения не является симметричной относительно 0.
3. Точки пересечения с осью Ох
y=0
(x+1)ln^2(x+1)=0
⇒
x+1=0 или ln^2(x+1)=0
x=-1 или x+1=1⇒x=0
-1 не принадлежит ОДЗ
(0;0)– точка пересечения c осью Ох
Точки пересечения с осью Оy
x=0 y=(0+1)ln^2(0+1)=1*0=0
(0;0)– точка пересечения c осью Оy
4. Асимптоты
Вертикальных асимптот нет
Горизонтальной асимптоты нет, так как [m] lim_{x → -1+0}(x+1)\cdot ln^2(x+1)=[/m] 0*∞
Запишем в виде:
[m] lim_{x → -1+0}\frac{ ln^2(x+1)}{\frac{1}{x+1}}=[/m]
и применим правило Лопиталя
Наклонной асимптоты нет
5.Интервалы монотонности и экстремумы
y`=(x+1)`*ln^2(x+1)+(x+1)*(ln^2(x+1))`
y`=1*ln^2(x+1)+(x+1)*(2ln(x+1))*(ln(x+1))`
y`=ln^2(x+1)+(x+1)*(2ln(x+1))*(1/(x+1))((x+1)`
y`=ln^2(x+1)+2ln(x+1)
y`=0
ln^2(x+1)+2ln(x+1)=0
ln(x+1)*(ln(x+1)+2)=0
ln(x+1)=0 или ln(x+1)=-2
x=0 или x+1=e^(-2)⇒x=(1-e^2)/e^2
Расставляем знак производной:
(-1) _+__ ((1-e^2)/e^2) __-__(0) _____+____
x=(1-e^2)/e^2 - точка максимума.
y`>0 при -1<x<(1-e^2)/e^2 и при x >0
Функция возрастает на (-1;(1-e^2)/e^2) и на (0;+ ∞ )
y`<0 при (1-e^2)/e^2< x < 0
Функция убывает на ((1-e^2)/e^2;0)
6.
Интервалы выпуклости, точки перегиба
y``=(y`)`=(ln^2(x+1)+2ln(x+1))`=((ln^2(x+1))`+2(ln(x+1))`
y``=2ln(x+1)*(ln(x+1))`+2*(1/(x+1))*(x+1)`
y``=2ln(x+1)*((1/(x+1))*(x+1)`)+2*(1/(x+1))*1
y``=(2(ln(x+1)+1))/(x+1)
y``=0
ln(x+1)+1=0
x+1=e^(-1)
x=(1/e)-1 - точка перегиба, производная меняет знак с - на +
y`` < 0 на (-1;(1/e)-1)
Кривая выпукла вверх на(-1;(1/e)-1)
y``>0 на ((1/e)-1;+ ∞)
Кривая выпукла вниз на ((1/e)-1;+ ∞)
