Задача 67365 Провести исследование и построить график...
Условие
Решение
2х+1 ≠ 0
х ≠-0,5
(-∞;-0,5)U(0,5;+∞)
2) функция не является ни чётной, ни нечётной
область определения не симметрична относительна нуля
3)
x-0,5 -[i] вертикальная [/i]асимптота
так как
[m]lim_{x→-0,5-0}\frac{x^2+2x-1}{2x+1}=\frac{0,25-2}{-0}=+∞[/m]
[m]lim_{x→-0,5+0}\frac{x^2+2x-1}{2x+1}=\frac{0,25-2}{+0}=-∞[/m]
4) горизонтальной асимптоты нет, так как
[m]lim_{x→∞}\frac{x^2+2x-1}{2x+1}=∞[/m]
Наклонная асимптота
[m]k=lim_{x→∞}\frac{x^2+2x-1}{(2x+1)\cdot x}=\frac{1}{2}[/m]
[m]b=lim_{x→∞}\frac{x^2+2x-1}{2x+1}-\frac{1}{2}x=lim_{x→∞}\frac{2x^2+4x-2-2x^2-x}{2(2x+1)}=lim_{x→∞}\frac{3x-2}{2(2x+1)}=\frac{3}{4}[/m]
[m]y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{4} [/m]-[i] наклонная [/i]асимптота
5)
точки пересечения с осью Ох
y=0 - уравнение оси Ох
Приравниваем правые части уравнения функции и уравнения оси Ох
[m]\frac{x^2+2x-1}{2x+1}=0[/m]
[m]x^2+2x-1=0[/m]
D=4+4=8
x=(-2 ± 2sqrt(2))/2
x=1±sqrt(2)
(1-sqrt(2);0) и (1+sqrt(2);0)- точки пересечения с осью Ох
точки пересечения с ось Оу
x=0 - уравнение оси Ох
Подставляем х=0 в уравнение функции
[m]y(0)=\frac{0^2+2\cdot 0-1}{2\cdot 0x+1}=-1[/m]
(0;-1) - точка пересечения с осью Оу
[b]Исследование функции с помощью производной[/b]
6)
[m]y`=\frac{(x^2+2x-1)`\cdot (2x+1) - (x^2+2x-1)\cdot (2x+1)`)}{(2x+1)^2}[/m]
[m]y`=\frac{(2x+2)\cdot (2x+1) - (x^2+2x-1)\cdot (2))}{(2x+1)^2}[/m]
[m]y`=\frac{(2x+2)\cdot (2x+1) - (x^2+2x-1)\cdot (2))}{(2x+1)^2}[/m]
[m]y`=\frac{4x^2+4x+2x+2-2x^2-4x+2}{(2x+1)^2}[/m]
[m]y`=\frac{2x^2+2x+4}{(2x+1)^2}[/m]
y`=0
[m]2x^2+2x+4=0[/m]
D=4-4*2*4 <0
Уравнение не имеет корней.
Нет точек возможных экстремумов
y`>0 на (-∞;-0,5) ⇒ функция возрастает на (-∞;-0,5)
y`<0 на (-0,5;+∞) ⇒ функция убывает на (-0,5;+∞)
7)
[m]y``=(y`)`=(\frac{2x^2+2x+4}{(2x+1)^2})`[/m]
[m]y``=\frac{(2x^2+2x+4)`\cdot (2x+1)^2-(2x^2+2x+4)\cdot ((2x+1)^2)`}{(2x+1)^4})[/m]
[m]y``=\frac{(4x+2)\cdot (2x+1)^2-(2x^2+2x+4)\cdot (2(2x+1)\cdot( (2x+1)`)}{(2x+1)^4})[/m]
[m]y``=\frac{(4x+2)\cdot (2x+1)-(2x^2+2x+4)\cdot 2\cdot 2}{(2x+1)^3})[/m]
m]y``=\frac{-14}{(2x+1)^3})[/m]
y`` >0 на (-∞;-0,5) кривая выпукла вниз на (-∞;-0,5)
y`` <0 на (-0,5;+∞) , кривая выпукла вверх на (-0,5;+∞) 