Задача 67360 Пусть 4x^2+y^2=4x-2y+7. Каково...
Условие
Решение
[m]5x+6y=a[/m]
Решаем задачу с параметром
[m]\left\{\begin {matrix}5x+6y=a\\4x^2+y^2=4x-2y+7\end {matrix}\right.[/m]
Выразим из первого уравнения x и подставим во второе:
[m]\left\{\begin {matrix}x=\frac{a -6y}{5}\\4(\frac{a -6y}{5})^2+y^2=4\cdot (\frac{a -6y}{5})-2y+7\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x=\frac{a -6y}{5}\\4(\frac{a^2-12ay +36y^2}{25})+y^2=4\cdot (\frac{a -6y}{5})-2y+7\end {matrix}\right.[/m]
Решаем второе уравнение
[m]4a^2-48ay+144y^2+25y^2=20a-120y-50y+175[/m]
Это квадратное уравнение с параметром
[m]169y^2+(170-48a)y+4a^2-20a-175=0[/m]
Уравнение имеет корни при D ≥ 0 ⇒
D/4=(85-24a)^2-169*(4a^2-20a-175)=85^2-2*85*24a+576a^2-169*4a^2+169*20a+169*175=-100a^2-700a+36800
-100a^2-700a+36800≥ 0 ⇒
a^2+7a-368≤ 0
D=49+4*368=1521=39^2
Квадратное уравнение имеет два корня
a_(1)=-23; a_(2)=16.
Значит решение неравенства:
[b]-23[/b] ≤ a ≤ [b]16[/b]
⇒
Найдены границы для а, значит найдено возможное наибольшее и возможное наименьшее значение...
[b]Наибольшее [/b]
a=16, т.е
5x+6y=[b]16[/b]
О т в е т. 16
Все решения
4x^2 - 4x + y^2 + 2y = 7
4(x^2 - x + 1/4 - 1/4) + (y^2 + 2y + 1 - 1) = 7
4(x - 1/2)^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1 = 7
4(x - 1/2)^2 + (y + 1)^2 = 9
[m]\frac{(x - 1/2)^2}{9/4} + \frac{(y + 1)^2}{9} = 1[/m]
Это уравнение эллипса с центром (1/2; -1) и
полуосями a = sqrt(9/4) = 3/2; b = sqrt(9) = 3
Но нам это не так уж важно. Нам нужно выразить y через x:
(y + 1)^2 = 9 - 4(x - 1/2)^2
y = sqrt(9 - 4(x - 1/2)^2) - 1
Теперь найдем нашу функцию:
f(x; y) = 5x + 6y
f(x) = 5x + 6sqrt(9 - 4(x - 1/2)^2) - 6
Значение функции будет максимально, когда ее производная будет равна 0:
[m]f'(x) = 5 + \frac{6(-4*2(x - 1/2))}{2\sqrt{9 - 4(x - 1/2)^2}} = \frac{5\sqrt{9 - 4(x - 1/2)^2} - 24(x - 1/2)}{\sqrt{9 - 4(x - 1/2)^2}} = 0[/m]
Если дробь равна 0, то ее числитель равен 0, а знаменатель нет.
5sqrt(9 - 4(x - 1/2)^2) - 24(x - 1/2) = 0
5sqrt(9 - 4(x - 1/2)^2) = 24(x - 1/2)
Возводим всё уравнение в квадрат:
25(9 - 4(x - 1/2)^2) = 576(x - 1/2)^2
225 - 100(x - 1/2)^2 = 576(x - 1/2)^2
676(x - 1/2)^2 = 225
(x - 1/2)^2 = 225/676
(x - 1/2)^2 = 15^2/26^2
1) x - 1/2 = -15/26
x1 = 1/2 - 15/26 = 13/26 - 15/26 = -2/26
[b]x1 = -1/13[/b]
y1 = sqrt(9 - 4(x - 1/2)^2) - 1 = sqrt(9 - 4(-15/26)^2) - 1 = sqrt(9 - 4*225/676) - 1 = 46/26
[b]y1 = 23/13[/b]
5x + 6y = -5/13 + 6*23/13 = (138 - 5)/13 = 133/13
[b]5x + 6y = 133/13[/b]
2) x - 1/2 = 15/26
x2 = 1/2 + 15/26 = 13/26 + 15/26 = 28/26
[b]x2 = 14/13[/b]
y2 = sqrt(9 - 4(x - 1/2)^2) - 1 = sqrt(9 - 4(15/26)^2) - 1 = 46/26
[b]y2 = 23/13[/b]
5x + 6y = 5*14/13 + 6*23/13 = (138 + 70)/13 = 208/13 = 16
[b]5x + 6y = 16[/b]
Так как 133/13 < 208/13, то:
Ответ: [b]5x + 6y = 16[/b]
