Задача 67311 [b]Составить уравнения касательных,...
Условие
данной точки M, и найти координаты точек касания.
[/b]
Решение
(x^2_(o)/36)+(y^2_(o)/4)=1
Уравнение касательной:
y-y_(o)= f`_(x_(o)) * (x-x_(o))
Функция задана неявно
Дифференцируем равенство:
(x^2/36)`+(y^2/4)`=(1)`
(2x/36)+(2y*y`)/4=0
x+9y*y`=0
y`=-x/9y
y`=f`(x)
f`(x_(o))=-x_(o)/(9*y_(o))
Подставляем в уравнение касательной:
y-y_(o)=-x_(o)/9y_(o) * (x-x_(o))
Точка М принадлежит касательной, значит
10-y_(o)=-x_(o)/9y_(o) * (-30-x_(o))
Решаем систему двух уравнений:
[b](x^2_(o)/36)+(y^2_(o)/4)=1[/b] ⇒ x^2_(o)+9y^2_(o)=36 подставим во второе
10-y_(o)=-x_(o)* (-30-x_(o))/9y_(o) ⇒90y_(o)-9y^2_(o)=30x_(o)+x^2_(o)
x^2_(o)+9y^2_(o)=30x_(o)-90y_(o)
[b] 30x_(o)-90y_(o)+36=0[/b] ⇒
[blue]x_(o)=3y_(o)-1,2[/blue]
(3y_(o)-1,2)^2+9y^2_(o)=36
18y^2_(o)-7,2y_(o)-34,56=0
[b]2y^2_(o)-0,8y_(o)-3,84=0[/b]
D=0,8^2+4*2*3,84=0,64+30,72=31,36=5,6^2
x_(o)=(0,8-5,6)/4; x_(o)=(0,8+5,6)/4
x_(o)_(1)=-1,2; x_(o)_(2)=1,6
y_(o)_(1)=-0,8 ; y_(o)_(2)=14/15